等比数列qの分母の求め方. 等比数列とその公式. 等比数列の特性

17.08.2020

パイプ

数学とは人は自然と自分自身をコントロールします。

ソビエトの数学者、学者 A.N. コルモゴロフ

幾何学的進行。

数学の入試では、等比数列の課題とともに、等比数列の概念に関する課題もよく出題されます。このような問題をうまく解決するには、等比数列のプロパティを知り、それらを使用する優れたスキルが必要です。

この記事では、等比数列の主な特性について説明します。また、典型的な問題を解決する例も提供します, 数学の入学試験のタスクから借用。

等比数列の主な性質を事前に確認し、最も重要な公式とステートメントを思い出してみましょう。, この概念に関連付けられています。

意味。数列は、2 番目から始まる各数が前の数に同じ数を掛けたものに等しい場合、等比数列と呼ばれます。この数は等比数列の分母と呼ばれます。

等比数列の場合式は有効です

, (1)

どこ。式 (1) は等比数列の一般項の式と呼ばれ、式 (2) は等比数列の主な性質であり、数列の各要素は、隣接する要素およびの幾何平均と一致します。

ノート、問題の進行が「幾何学的」と呼ばれるのは、まさにこの特性のためです。

上記の式 (1) と (2) をまとめると、次のようになります。

, (3)

合計を計算するには最初等比数列のメンバー式が適用されます

指定すれば

どこ。であるため、式 (6) は式 (5) の一般化です。

場合と幾何級数無限に減っています。合計を計算するには無限に減少する等比数列のすべてのメンバーについて、式が使用されます

. (7)

例えば、式（7）を使用して、次のことができます、何

どこ。これらの等式は、式 (7) から得られます。

定理。なら、

証拠。ならば、

定理は証明されました。

トピック「幾何学的進行」に関する問題を解決する例を考えてみましょう。

例 1与えられた: 、および . 探す。

解決。式 (5) を適用すると、

答え：。

例 2してみましょう。探す。

解決。とであるため、式 (5)、(6) を使用して連立方程式を取得します。

系 (9) の 2 番目の式を最初の式で割ると、、次にまたは。これから、 . 2 つのケースを考えてみましょう。

1. もし、次に、システム（9）の最初の方程式から、.

2. ならば .

例 3、およびとします。探す。

解決。式 (2) から、またはが得られます。以来、または。

状態によります。しかし、だから。なぜなら、そして、次に、ここに連立方程式があります

系の 2 番目の方程式が最初の方程式で除算される場合、または .

であるため、方程式には適切な根が 1 つあります。この場合、システムの最初の方程式はを意味します。

式（7）を考慮すると、次のようになります。

答え：。

例 4与えられた: と . 探す。

解決。それ以来。

なぜなら、それからまたは

式 (2) によると、が得られます。この点で、等式 (10) からまたはを取得します。

但し状態により、その為お取置きは致しかねます。

例 5と知られている。探す。

解決。定理によれば、2 つの等式があります。

以来、または。なぜなら、それなら。

答え：。

例 6与えられた: と . 探す。

解決。式（5）を考慮すると、次のようになります。

それ以来。以来、そして、そして。

例 7してみましょう。探す。

解決。式（1）によると、次のように書くことができます。

したがって、またはがあります。と、したがってとが知られています。

答え：。

例 8次の場合、無限減少等比数列の分母を求めます。

と。

解決。 式 (7) から、と . ここから、問題の条件から、連立方程式を取得します。

系の最初の方程式が 2 乗の場合, 次に、結果の方程式を2番目の方程式で割ります、それから私たちは得る

または。

答え：。

例 9シーケンス、が等比数列であるすべての値を見つけます。

解決。、およびとします。等比数列の主な性質を定義する式 (2) によれば、またはと書くことができます。

ここから二次方程式を得る, そのルーツはと。

確認しましょう:、そして、そして; もし、そして、そして。

最初のケースでは、と、そして 2 番目の - と。

答え：、。

例 10方程式を解く

, (11)

どこと。

解決。式 (11) の左辺は無限減少等比数列の和であり、ここでとが与えられます。

式 (7) から、、何 . この点に関して、式 (11) は次の形式をとります。また . 適当な根二次方程式は

答え：。

例 11。 P 正の数列等差数列を形成する、 - 幾何級数、それは何と関係がありますか。探す。

解決。なぜなら算術数列、それから (等差数列の主要なプロパティ)。なぜなら、次にまたは。これは、幾何級数が. 式（2）によると、次にそれを書きます。

以来、そして . その場合、表現はまたはの形式を取ります。条件により、だから方程式から検討中の問題の唯一の解を得る、つまり .

答え：。

例 12。合計を計算する

. (12)

解決。 等式 (12) の両辺に 5 を掛けて、

結果の式から (12) を引くと、、それから

また。

計算するには、値を式（7）に代入して取得します。それ以来。

答え：。

ここで紹介する問題解決の例は、入学試験の準備に役立ちます。問題解決方法をより深く学ぶために, 等比数列に関連する, に使える学習ガイドおすすめの文献リストから。

1. 工科大学志願者向け数学課題集 / Ed. M.I. スカナビ。 – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. 高校生のための数学: 学校のカリキュラムの追加セクション。 – M .: レナンド / URSS、2014年。 - 216ページ。

3.Medynsky M.M. フルコースタスクと演習における初等数学。本 2: 数列と進行。 – M .: エディトス、2015. - 208 p。

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22.09.2018 22:00

等比数列は、算術と同様に重要な数列であり、9 年生の学校の代数コースで学習されます。この記事では、等比数列の分母と、その値がそのプロパティにどのように影響するかを検討します。

等比数列の定義

まず、この数列の定義を示します。等比数列は、最初の要素に分母と呼ばれる定数を連続して掛けることによって形成される一連の有理数です。

たとえば、シリーズ 3、6、12、24、... の数字は等比数列です。これは、3 (最初の要素) に 2 を掛けると 6 になるからです。6 に 2 を掛けると、 12など。

検討中のシーケンスのメンバーは、通常、記号 ai で示されます。ここで、i は、シリーズ内の要素の番号を示す整数です。

上記の数列の定義は、数学の言語で次のように書くことができます: an = bn-1 * a1、ここで b は分母です。この式を確認するのは簡単です。n = 1 の場合、b1-1 = 1 となり、a1 = a1 が得られます。 n = 2 の場合、an = b * a1 となり、検討中の数列の定義に戻ります。 n の値が大きい場合も、同様の推論を続けることができます。

等比数列の分母

数字 b は、数字シリーズ全体が持つ文字を完全に決定します。分母 b は、正、負、または 1 より大きいまたは 1 より小さい値にすることができます。上記のオプションはすべて、異なるシーケンスにつながります。

b > 1. 有理数の系列が増えています。たとえば、1、2、4、8、... 要素 a1 が負の場合、シーケンス全体はモジュロのみ増加しますが、数値の符号を考慮して減少します。
b = 1. 通常の一連の同一の有理数が存在するため、このような場合は累進と呼ばれないことがよくあります。たとえば、-4、-4、-4 です。

合計の計算式

考慮中の数列のタイプの分母を使用して特定の問題の考察に進む前に、その最初の n 個の要素の合計に対して重要な式を与える必要があります。式は、Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1) です。

進行のメンバーの再帰的なシーケンスを考えると、この式を自分で取得できます。また、上記の式では、任意の数の項の和を求めるために、最初の要素と分母だけを知っていれば十分であることに注意してください。

無限に減少するシーケンス

上記は、それが何であるかの説明でした。さて、Sn の式がわかったので、それをこの数列に適用してみましょう。モジュラスが 1 を超えない数値は、大きな累乗でゼロになる傾向があるため、つまり、-1 の場合 b∞ => 0 です。

差 (1 - b) は分母の値に関係なく常に正であるため、無限に減少する等比数列 S∞ の和の符号は、その最初の要素 a1 の符号によって一意に決定されます。

ここで、いくつかの問題を検討し、取得した知識を特定の数値に適用する方法を示します。

タスク番号 1. 進行と合計の未知の要素の計算

等比数列が与えられた場合、数列の分母は 2 で、その最初の要素は 3 です。その 7 番目と 10 番目の項は何になりますか?また、その 7 つの最初の要素の合計は何ですか?

問題の条件は非常に単純で、上記の式を直接使用する必要があります。したがって、番号 n の要素を計算するには、式 an = bn-1 * a1 を使用します。 7 番目の要素については、a7 = b6 * a1 を既知のデータに置き換えると、次のようになります。a7 = 26 * 3 = 192。10 番目の要素についても同じことを行います: a10 = 29 * 3 = 1536。

合計にはよく知られた式を使用し、系列の最初の 7 つの要素についてこの値を決定します。 S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381 です。

タスク番号2.進行の任意の要素の合計を決定する

-2 を指数関数的数列 bn-1 * 4 の分母に等しくします。ここで、n は整数です。この系列の 5 番目から 10 番目の要素までの合計を決定する必要があります。

提起された問題は、既知の公式を使用して直接解決することはできません。 2 つの異なる方法で解決できます。完全を期すために、両方を提示します。

方法 1. 考え方は簡単です。最初の項の 2 つの対応する合計を計算し、1 からもう一方を引く必要があります。小さい方の合計を計算します: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. ここで、S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20 という大きな合計を計算します。最後の式では、問題の条件に従って計算する必要がある合計に 5 番目がすでに含まれているため、4 つの項のみが合計されていることに注意してください。最後に、差をとります: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

方法 2. 数値を代入してカウントする前に、問題の系列の項 m と n の間の合計の式を取得できます。方法 1 とまったく同じように動作しますが、最初に和の記号表現を処理するだけです。 Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . 結果の式に既知の数値を代入して、最終結果を計算できます: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

タスク番号 3. 分母は?

a1 = 2 とし、等比数列の分母を求めます。ただし、その無限和が 3 であり、これが減少する数列であることがわかっています。

問題の状況に応じて、それを解くためにどの式を使用する必要があるかを推測することは難しくありません。もちろん、無限に減少する進行の合計です。 S∞ = a1 / (1 - b) です。ここから分母を表現します: b = 1 - a1 / S∞. 既知の値を置き換えて、必要な数を取得する必要があります：b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3または-0.333（3）。このタイプのシーケンスでは、係数 b が 1 を超えてはならないことを覚えていれば、この結果を定性的に確認できます。

タスク番号 4. 一連の数字の復元

数列の 2 つの要素が与えられたとします。たとえば、5 番目は 30 に等しく、10 番目は 60 に等しくなります。等比数列のプロパティを満たすことがわかっているので、これらのデータから系列全体を復元する必要があります。

この問題を解決するには、まず、既知のメンバーごとに対応する式を書き留める必要があります。 a5 = b4 * a1 および a10 = b9 * a1 です。 2 番目の式を最初の式で割ると、次のようになります。 a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. ここから、問題の条件から知られているメンバーの比率の 5 次根を取ることによって分母を決定します (b = 1.148698)。結果の数値を既知の要素の式の 1 つに代入すると、次のようになります: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

したがって、数列 bn の分母と等比数列 bn-1 * 17.2304966 = an (b = 1.148698) がわかりました。

等比数列はどこで使用されますか?

この数値級数が実際に適用されない場合、その研究は純粋に理論的な関心に還元されます。しかし、そのようなアプリケーションがあります。

最も有名な 3 つの例を以下に示します。

機敏なアキレスが足の遅い亀に追いつけないゼノのパラドックスは、無限に減少する数列の概念を使用して解決されます。
チェス盤の各セルに小麦粒を配置し、1 番目のセルに 1 粒、2 番目のセルに 2 粒、3 番目のセルに 3 粒、というように配置すると、18446744073709551615 粒がチェス盤のすべてのセルを満たすために必要になります。ボード！
ゲーム「ハノイの塔」では、ディスクをあるロッドから別のロッドに再配置するには、2n - 1 操作を実行する必要があります。

Kievyan 通り、16 0016 アルメニア、エレバン +374 11 233 255

それでは、座っていくつかの数字を書き始めましょう。例えば：

任意の数字を書くことができ、好きな数を書くことができます (私たちの場合はそれらです)。いくつの数字を書いても、どれが最初のもので、どれが2番目であるか、というように最後まで常に言うことができます。つまり、それらに番号を付けることができます。これは数列の例です:

数列それぞれに一意の番号を割り当てることができる一連の番号です。

たとえば、シーケンスの場合:

割り当てられた番号は、1 つのシーケンス番号だけに固有です。つまり、数列に 3 秒の数字はありません。 2 番目の数値 ( - 番目の数値など) は常に同じです。

番号付きの番号は、シーケンスの - 番目のメンバーと呼ばれます。

通常、シーケンス全体を文字 (たとえば、) と呼び、このシーケンスの各メンバー - このメンバーの番号に等しいインデックスを持つ同じ文字: .

私たちの場合には：

数列の最も一般的なタイプは、算術と幾何学です。このトピックでは、2 番目の種類について説明します - 幾何級数.

なぜ等比数列とその歴史が必要なのか.

古代でさえ、イタリアの数学者であるピサの修道士レオナルド (フィボナッチとしてよく知られている) は、貿易の実際的な必要性を扱っていました。修道士は、商品の重さを量るのに使用できる分銅の最小数を決定するという課題に直面しました。フィボナッチは彼の著書の中で、そのような重みのシステムが最適であることを証明しています。これは、等比数列に対処しなければならなかった最初の状況の 1 つであり、おそらく聞いたことがあるでしょうし、少なくとも一般的な考えを持っているでしょう。トピックを完全に理解したら、なぜそのようなシステムが最適なのか考えてみてください。

現在、生活習慣では、銀行にお金を投資するとき、前の期間の口座に蓄積された金額に利息の額が請求されるときに、等比数列が現れます。言い換えれば、貯蓄銀行の定期預金にお金を預けると、1年で預金は元の金額から増加します。新しい金額は、拠出金を掛けたものに等しくなります。別の年には、この金額は増加します。その時点で得られた金額は、再び乗算されます。同様の状況は、いわゆる計算の問題で説明されています複利- パーセンテージは、以前の利息を考慮して、アカウントにある金額から毎回取得されます。これらのタスクについては、少し後で説明します。

等比数列が適用される単純なケースは他にもたくさんあります。たとえば、インフルエンザの蔓延：ある人が人に感染し、次に別の人に感染したため、感染の第2波は人であり、次に別の人に感染しました...など.. .

ちなみに、同じMMMである金融ピラミッドは、等比数列の特性による単純でドライな計算です。面白い？それを理解しましょう。

幾何学的進行。

数列があるとしましょう:

あなたはすぐに、それは簡単で、そのようなシーケンスの名前はそのメンバーの違いであると答えるでしょう. このようなものはどうですか：

次の数から前の数を引くと、新しい差 (など) が得られるたびにわかりますが、シーケンスは確実に存在し、簡単に気付くことができます。次の各数は前の数よりも大きくなります。 !

このタイプのシーケンスは、 幾何級数とマークされています。

等比数列 ( ) は数値シーケンスであり、その最初の項はゼロではなく、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。この数は等比数列の分母と呼ばれます。

最初の項 ( ) が等しくなく、ランダムではないという制約。何もないとしましょう。最初の項はまだ等しく、q は、うーん .. let であることがわかります。

これは進歩ではないことに同意します。

おわかりのように、ゼロ以外の数値であれば同じ結果が得られますが、. これらの場合、数列全体がすべてゼロになるか、1 つの数で残りがすべてゼロになるため、単純に進行はありません。

次に、等比数列の分母、つまり約について詳しく説明しましょう。

繰り返しますが、この番号です 後続の用語はそれぞれ何回変化しますか幾何級数。

それは何だと思いますか？そうです、正と負ですが、ゼロではありません (これについては少し高く話しました)。

ポジティブがあるとしましょう。私たちの場合、a. 第二期とは？次のように簡単に答えることができます。

わかった。したがって、進行の後続のすべてのメンバーが同じ符号を持っている場合 - 彼らは ポジティブ.

マイナスだったら？たとえば、第二期とは？

全然違う話です

この進行の期間を数えてみてください。いくらもらった？私は持っている。したがって、もし、等比数列の項の記号が交互になります。つまり、メンバーに符号が交互に現れる進行形が見られる場合、その分母は負です。この知識は、このトピックに関する問題を解決するときに自分自身をテストするのに役立ちます。

では、少し練習してみましょう: どの数列が等比数列でどれが算術数列かを判断してみましょう:

とった？私たちの答えを比較してください：

等比数列 - 3、6。
算術進行 - 2、4。
それは算術でも等比級数でもありません - 1, 5, 7.

最後の進行に戻り、算術と同じ方法でその項を見つけようとしましょう。ご想像のとおり、それを見つける方法は 2 つあります。

各項を連続して乗算します。

したがって、記述された等比数列の - 番目のメンバーはに等しいです。

すでにお察しのとおり、等比数列の任意のメンバーを見つけるのに役立つ式を自分で導き出すことができます。それとも、段階的に th メンバーを見つける方法を説明して、すでに自分でそれを引き出しましたか? もしそうなら、あなたの推論の正しさをチェックしてください。

この進行の - 番目のメンバーを見つける例でこれを説明しましょう:

言い換えると：

特定の等比数列のメンバーの値を自分で見つけます。

起こりました？私たちの答えを比較してください：

等比数列の前の各メンバーを連続して乗算したとき、前の方法とまったく同じ数が得られたことに注意してください。
この式を「非個人化」してみましょう - それを一般的な形にすると、次のようになります。

導出された式は、正と負の両方のすべての値に当てはまります。次の条件で等比数列の項を計算して、自分で確認してください。

数えましたか？結果を比較してみましょう。

メンバーと同じ方法でプログレッションのメンバーを見つけることは可能ですが、計算を誤る可能性があることに同意してください。そして、等比数列の第 3 項 a が既に見つかっている場合は、式の「切り捨てられた」部分を使用するよりも簡単です。

無限に減少する等比級数。

最近では、ゼロより大きいか小さいかについて話しましたが、等比数列と呼ばれる特別な値があります 無限に減少.

なぜこのような名前になったと思いますか。
まず、メンバーからなる等比級数を書き留めてみましょう。
それでは、次のように言いましょう。

後続の各用語は前の用語よりも回数が少ないことがわかりますが、数値はありますか? あなたはすぐに「いいえ」と答えるでしょう。そのため、無限に減少する - 減少、減少しますが、決してゼロにはなりません。

これが視覚的にどのように見えるかを明確に理解するために、進行状況のグラフを描いてみましょう。したがって、この場合、式は次の形式になります。

チャートでは、依存関係を構築することに慣れているため、次のようになります。

式の本質は変わっていません: 最初のエントリでは、等比数列のメンバーの値がその序数に依存することを示し、2 番目のエントリでは、等比数列のメンバーの値を、序数は as ではなく as として指定されました。あとはグラフをプロットするだけです。
あなたが得たものを見てみましょう。これが私が得たチャートです：

見る？関数は減少し、ゼロになる傾向がありますが、それを超えることはないため、無限に減少しています。グラフ上のポイントをマークし、同時に座標と意味をマークしましょう。

第 1 項も等しい場合、等比数列のグラフを図式的に描いてみてください。前のチャートとの違いを分析してください。

あなたは管理しましたか？これが私が得たチャートです：

等比数列のトピックの基本を完全に理解したので、それが何であるか、その用語を見つける方法、そして無限に減少する等比数列が何であるかも知っているので、その主要なプロパティに移りましょう.

等比数列の性質。

等差数列のメンバーのプロパティを覚えていますか? はい、はい、この進行のメンバーの前後の値がある場合に、特定の数の進行の値を見つける方法. 覚えていますか？これ：

今、等比数列の項についてまったく同じ問題に直面しています。そのような式を導き出すために、描画と推論を始めましょう。とても簡単で、忘れても自分で取り出せます。

私たちが知っている別の単純な等比級数を考えてみましょう。見つけ方？等差数列なら、これは簡単で簡単ですが、ここではどうですか？実際、ジオメトリにも複雑なことは何もありません。式に従って、与えられた各値をペイントするだけです。

あなたは尋ねます、そして今、私たちはそれをどうしますか? はい、とても簡単です。まず、これらの式を図に示し、値を得るためにさまざまな操作を行ってみましょう。

与えられた数字から抽象化して、式による表現のみに焦点を当てます。オレンジ色で強調表示された値を見つけ、それに隣接する用語を知る必要があります。それらを使ってさまざまなアクションを実行してみましょう。その結果、得ることができます。

添加。
2 つの式を追加してみましょう。次のようになります。

ご覧のとおり、この式からは、どのような方法でも表現できないため、別のオプションである減算を試します。

減算。

ご覧のとおり、これからも表現できません。したがって、これらの表現を互いに乗算しようとします。

乗算。

ここで、与えられた等比数列の項を求めるべきものと比較して、得られたものを注意深く見てください。

私が何について話していると思いますか？正確には、それを見つけるには、目的の数に隣接する等比数列の平方根を互いに乗算する必要があります。

どうぞ。あなた自身が等比数列の性質を推測しました。この式を一般的な形で書いてみてください。起こりました？

いつ条件を忘れましたか？なぜそれが重要なのかを考えてみてください。たとえば、自分で計算してみてください。この場合はどうなりますか？そうです、完全にナンセンスです。式は次のようになっているからです。

したがって、この制限を忘れないでください。

では、どのようなものか計算してみましょう。

正解 - ！計算時に 2 番目の可能な値を忘れなかった場合、あなたは素晴らしい仲間であり、すぐにトレーニングに進むことができます。忘れた場合は、以下の分析を読んで、なぜ両方の根が答えに書かれなければならないのかに注意してください。 .

両方の等比数列を描画してみましょう - 1 つは値を持ち、もう 1 つは値を持ち、両方が存在する権利を持っているかどうかを確認します。

そのような等比数列が存在するかどうかを確認するには、指定されたすべてのメンバー間で同じであるかどうかを確認する必要がありますか? 1 番目と 2 番目のケースの q を計算します。

2 つの答えを書かなければならない理由がわかりますか? 必要な用語の符号は、正か負かによって異なるためです。そして、それが何であるかわからないので、両方の答えをプラスとマイナスで書く必要があります。

要点をマスターし、等比数列の性質の公式を導き出したので、見つけ、知り、

あなたの答えを正しいものと比較してください：

必要な数に隣接する等比数列のメンバーの値ではなく、それから等距離にある値が与えられたとしたらどう思いますか。たとえば、and を見つけて与えられる必要があります。この場合、導出した式を使用できますか? 最初から数式を導き出すときに行ったように、各値が何で構成されているかを説明するのと同じ方法で、この可能性を確認または反論してみてください。
何を手に入れましたか？

今もう一度注意深く見てください。
それに応じて：

これから、式が機能すると結論付けることができます 隣国だけでなく等比数列の望ましい項だけでなく、 等距離メンバーが探しているものから。

したがって、元の式は次のようになります。

つまり、最初のケースでそう言ったとしたら、今は、それよりも小さい任意の自然数に等しくなり得ると言います。主なことは、与えられた両方の数値が同じであることです。

特定の例で練習してください。細心の注意を払ってください。

、。探す。
、。探す。
、。探す。

私は決めた？あなたが非常に注意深く、小さな問題に気づいたことを願っています.

結果を比較します。

最初の 2 つのケースでは、上記の式を落ち着いて適用し、次の値を取得します。

3 番目のケースでは、私たちに与えられた番号のシリアル番号を注意深く検討すると、探している番号から等距離ではないことがわかります。それは前の番号ですが、位置が削除されているため、不可能です。式を適用します。

それを解決する方法は？実際には、見た目ほど難しくありません。私たちに与えられた各数字と希望する数字が何で構成されているかを書き留めましょう。

だから私たちは持っています。それらで何ができるか見てみましょう。分割することをお勧めします。我々が得る：

データを式に代入します。

次のステップは、結果の数値の立方根を取る必要があることです。

今、私たちが持っているものをもう一度見てみましょう。持っていますが、見つける必要があり、それは次のようになります。

計算に必要なすべてのデータが見つかりました。式に代入します。

私たちの答え: .

別の同じ問題を自分で解決してみてください。
与えられた: ,
探す：

いくらもらった？私は持っている - 。

ご覧のとおり、実際には、 式を1つだけ覚える- . 残りのすべては、いつでも問題なく引き出すことができます。これを行うには、最も単純な等比数列を紙に書き、上記の式に従って、それぞれの数が等しいものを書き留めます。

等比数列の項の和。

次に、等比数列の項の合計を所定の間隔ですばやく計算できる式を考えてみましょう。

有限等比数列の項の和の式を導き出すには、上記の式のすべての部分にを掛けます。我々が得る：

よく見てください: 最後の 2 つの式に共通するものは何ですか? そうです、最初と最後のメンバーを除いて、たとえばなどの一般的なメンバー。 2 番目の式から 1 番目の式を減算してみましょう。何を手に入れましたか？

次に、等比数列のメンバーの式を使用して表現し、結果の式を最後の式に置き換えます。

式をグループ化します。あなたは得るべきです：

やるべきことは、次のように表現することだけです。

したがって、この場合。

仮に？では、どの式が機能しますか？での等比数列を想像してください。彼女はどんな人ですか？正しい一連の同一の数字はそれぞれ、式は次のようになります。

算術および等比数列と同様に、多くの伝説があります。そのうちの 1 つは、チェスの創始者であるセスの伝説です。

チェスのゲームがインドで発明されたことは、多くの人が知っています。ヒンズー教の王が彼女に会ったとき、彼は彼女の機知と、彼女が可能なさまざまなポジションに喜んでいました。それが彼の主題の1つによって発明されたことを知ると、王は個人的に彼に報酬を与えることに決めました. 彼は発明者を彼に呼び、彼が望むものは何でも彼に尋ねるように命じ、最も巧妙な欲求さえも満たすことを約束しました。

セタは考える時間を求め、翌日セタが王の前に現れたとき、彼は彼の要求の比類のない謙虚さで王を驚かせました. 彼はチェス盤の最初のマスに小麦を、2 番目に小麦を、3 番目に小麦を、4 番目に小麦を、というように要求しました。

王様は怒ってセスを追い払い、しもべの要求は王室の寛大さに値しないと言いましたが、しもべはボードのすべてのセルに対して彼の穀物を受け取ると約束しました.

問題は次のとおりです。等比数列のメンバーの合計の式を使用して、セスが受け取るべき穀物の数を計算しますか?

議論を始めましょう。条件に従って、セスはチェス盤の最初のセル、2 番目、3 番目、4 番目などに小麦粒を求めたので、問題は等比数列に関するものであることがわかります。この場合、何が等しいでしょうか？
正しく。

チェス盤の総セル。それぞれ、。すべてのデータがあり、式に代入して計算するだけです。

与えられた数の「スケール」を少なくともおおよそ表すために、次数のプロパティを使用して変換します。

もちろん、必要に応じて、電卓を使用して最終的にどのような数になるかを計算することもできます。そうでない場合は、私の言葉を信じてください。式の最終的な値は次のようになります。
あれは：

千兆千兆兆億億万千。

ふふ) この数の膨大さを想像したいなら、穀物の全量を収容するために必要な納屋のサイズを見積もってください.
納屋の高さが m で幅が m の場合、その長さは km に拡張する必要があります。地球から太陽までの距離の2倍。

もし王様が数学に長けていたら、科学者自身に穀物を数えるように申し出ることができました.100万個の穀物を数えるには、精力的に数えるのに少なくとも1日必要であり、京を数える必要があることを考えると、穀物は彼の生涯を数えなければならないでしょう。

それでは、等比数列の項の和に関する簡単な問題を解いてみましょう。
5 年生の Vasya はインフルエンザにかかりましたが、学校に通い続けています。毎日、Vasya は 2 人に感染し、さらに 2 人に感染します。クラスに一人だけ。クラス全員がインフルエンザにかかるのは何日後ですか.

したがって、等比数列の最初のメンバーは Vasya、つまり人です。等比数列の第 1 メンバーであり、到着初日に彼が感染した 2 人です。プログレッションのメンバーの合計は、生徒数 5A に等しくなります。したがって、私たちは次のような進行について話しています。

データを等比数列の項の和の式に代入してみましょう。

クラス全体が数日以内に病気になります。数式や数字を信じていませんか? 生徒たち自身の「感染」を描いてみてください。起こりました？私にとってそれがどのように見えるかを見てください：

全員が 1 人に感染し、クラスに 1 人がいた場合、生徒がインフルエンザにかかる日数を自分で計算してください。

どのような値が得られましたか? 誰もが1日後に病気になり始めたことが判明しました。

ご覧のとおり、そのようなタスクとその描画はピラミッドに似ており、その後のそれぞれが新しい人々を「連れてきます」。しかし、遅かれ早かれ、後者が誰も引き付けられない瞬間が来ます。私たちの場合、クラスが孤立していると想像すると、人はチェーンを閉じます（）。したがって、他の2人の参加者を連れてきた場合にお金が与えられる金融ピラミッドに人が関与した場合、その人（または一般的な場合）はそれぞれ誰も連れてこず、この金融詐欺に投資したすべてを失うことになります.

上で述べたことはすべて、等比数列の減少または増加を指していますが、覚えているように、特別な種類は無限に減少する等比級数です。そのメンバーの合計を計算する方法は? そして、なぜこのタイプの進行には特定の特徴があるのでしょうか? 一緒に考えてみましょう。

ですから、手始めに、私たちの例から無限に減少する等比数列のこの図をもう一度見てみましょう:

それでは、少し前に導出した等比数列の和の式を見てみましょう。
また

私たちは何のために努力していますか？そうです、グラフはそれがゼロになる傾向があることを示しています。つまり、式を計算すると、それぞれほぼ等しくなります。この点に関して、無限に減少する等比数列の合計を計算する場合、この括弧は等しいので無視できると考えています。

- 式は、無限に減少する等比数列の項の合計です。

重要！条件が合計を見つける必要があることを明示的に示している場合にのみ、無限に減少する等比数列の項の合計の式を使用します エンドレス会員数。

特定の数 n が示されている場合は、n 個の項の和の公式を使用します。

そして今、練習しましょう。

等比数列の最初の項の和をとで求めます。
とを使用して、無限に減少する等比級数の項の和を求めます。

細心の注意を払っていただければ幸いです。私たちの答えを比較してください：

これで等比数列についてすべて理解できたので、理論から実践に移る時が来ました。試験で見つかる最も一般的な指数の問題は、複利の問題です。私たちが話すのは彼らについてです。

複利計算の問題。

いわゆる複利の公式について聞いたことがあるはずです。彼女の意味がわかりますか？そうでない場合は、プロセス自体を理解すると、等比級数がそれと関係があることをすぐに理解できるので、それを理解しましょう.

私たちは皆銀行に行き、そこにあることを知っています。さまざまな条件預金について：これは期間、追加のメンテナンス、および2つの異なる計算方法（単純なものと複雑なもの）による利息です。

から単利多かれ少なかれすべてが明確です。預金期間の終了時に利息が1回請求されます。つまり、年間 100 ルーブルを下回ることについて話している場合、それらは年末にのみ入金されます。したがって、預金の終わりまでに、ルーブルを受け取ります。

複利はオプションです 利息の資本化、つまり預金額への追加と、その後の収入の計算は、最初からではなく、預金の累積額から行われます。大文字化は常に発生するわけではありませんが、ある程度の周期性があります。原則として、そのような期間は等しく、ほとんどの場合、銀行は月、四半期、または年を使用します。

年間に同じルーブルをすべて入れたとしましょうが、預金の毎月の資本化があります。私たちは何を得ますか？

ここですべてを理解していますか？そうでない場合は、段階的に進めていきましょう。

私たちは銀行にルーブルを持ってきました。月末までに、ルーブルに利息を加えた金額がアカウントにあるはずです。つまり、次のとおりです。

同意します？

ブラケットから取り出すと、次のようになります。

同意します。この式は、最初に書いたものにすでに似ています。パーセンテージを扱うことは残っています

問題の状態では、毎年恒例のことを言われています。ご存じのとおり、乗算は行いません。パーセンテージを小数に変換します。つまり、次のようになります。

右？今、あなたは尋ねます、番号はどこから来たのですか? とても簡単です！
繰り返します：問題の状態は約通年経過利息毎月. ご存知のように、1 年ごとに、銀行は毎月の年利の一部を請求します。

気がついた？ここで、利息が毎日計算されると言った場合、数式のこの部分がどのようになるかを書いてみてください。
あなたは管理しましたか？結果を比較してみましょう。

素晴らしい！私たちの仕事に戻りましょう：累積預金額に利息が課されることを考慮して、2か月目にアカウントに入金される金額を書き留めます。
これが私に起こったことです：

または、言い換えれば：

あなたはすでにパターンに気づいており、このすべてにおいて等比数列を見たと思います。そのメンバーが何に等しいか、つまり、月末に受け取る金額を書きます。
やりました？チェック中！

ご覧のとおり、単利で1年間銀行にお金を預けるとルーブルを受け取り、複利で預けるとルーブルを受け取ります。利益は小さいですが、これは 1 年目にのみ発生しますが、より長い期間では、資本化ははるかに有益です。

別の種類の複利問題を考えてみましょう。あなたが理解した後、それはあなたにとって初歩的なものになります。したがって、タスクは次のとおりです。

Zvezda は 2000 年にドル資本で業界への投資を開始しました。 2001 年以降、毎年、前年の資本金と同額の利益を上げています。利益が流通から回収されなかった場合、2003 年末に Zvezda 社はどのくらいの利益を得るでしょうか?

2000年のズベズダ社の資本。
- 2001 年に Zvezda 社の資本。
- 2002 年に Zvezda 社の資本。
- 2003 年に Zvezda 社の資本。

または、簡単に書くことができます：

私たちの場合：

2000 年、2001 年、2002 年、2003 年。

それぞれ：
ルーブル
この問題では、パーセンテージが毎年与えられ、毎年計算されるため、除算も除算もないことに注意してください。つまり、複利の問題を読むときは、何パーセントが与えられ、どの期間に請求されるかに注意してから、計算に進んでください。
これで、等比数列についてすべて理解できました。

いい結果。

等比数列の項がわかっている場合、次の項を見つけます。
等比数列の最初の項の和を求めます (それがわかっている場合)。
MDM Capital は、2003 年にドル資本で業界への投資を開始しました。 2004 年以降、毎年、前年の資本金と同額の利益を上げています。 "MSK Cash Flows" という会社は、2005 年に 10,000 ドルの業界への投資を開始し、2006 年に 1 万ドルの利益を上げ始めました。 2007 年末の時点で、ある会社の資本金は他の会社の資本金を何ドル上回っていますか?

答え:

問題の条件は、進行が無限であるとは言っておらず、そのメンバーの特定の数の合計を見つける必要があるため、計算は次の式に従って実行されます。
会社「MDMキャピタル」：
2003 年、2004 年、2005 年、2006 年、2007 年。
- 100%、つまり 2 倍に増加します。
それぞれ：
ルーブル
MSK キャッシュフロー:
2005年、2006年、2007年。
- つまり、倍に増加します。
それぞれ：
ルーブル
ルーブル

要約しましょう。

1) 等比数列 ( ) は数値シーケンスであり、その最初の項はゼロではなく、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。この数は等比数列の分母と呼ばれます。

2) 等比数列のメンバーの方程式 -.

3) and を除いて、任意の値を取ることができます。

場合、進行の後続のすべてのメンバーは同じ符号を持ちます - 彼らは ポジティブ;
if, then プログレッションの後続のすべてのメンバー 代替標識;
at - 進行は無限減少と呼ばれます。

4) 、 at は等比数列の性質です (隣接項)

また
, at (等距離項)

見つけたら忘れずに 2つの答えがあるはずです。.

例えば、

5) 等比数列のメンバーの合計は、次の式で計算されます。
また

また

重要！無限に減少する等比数列の項の和の公式を使用するのは、無限個の項の和を求める必要があることを条件が明示的に示している場合のみです。

6) 複利のタスクも等比数列の th メンバーの式によって計算されます。現金流通から撤回されていない:

幾何学的な進歩。メインについて簡単に

幾何級数( ) は数値列で、最初の項はゼロではなく、2 番目から始まる各項は前の項に同じ数を掛けたものに等しくなります。この番号は等比数列の分母。

等比数列の分母 and を除く任意の値を取ることができます。

進行の後続のすべてのメンバーが同じ符号を持っている場合、それらは正です。
場合は、その後の進行のすべての後続のメンバーが交互に署名します。
at - 進行は無限減少と呼ばれます。

等比数列のメンバーの方程式 - .

等比数列の項の和次の式で計算されます。
また

進行が無限に減少している場合、次のようになります。

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等比数列は数値シーケンスであり、その最初の項は非ゼロであり、次の各項は前の項に同じ非ゼロの数を掛けたものに等しくなります。

等比数列は b1、b2、b3、…、bn、…。

幾何誤差の任意の項とその前の項の比は同じ数に等しくなります。つまり、b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+ 1)/億 = …. これは、等差数列の定義から直接導かれます。この数は等比数列の分母と呼ばれます。通常、等比数列の分母は文字 q で表されます。

単調で一定のシーケンス

等比数列を設定する 1 つの方法は、その最初の項 b1 と等比誤差 q の分母を設定することです。たとえば、b1=4、q=-2 です。これらの 2 つの条件により、等比数列は 4、-8、16、-32、… になります。

q>0 (q が 1 ではない) の場合、数列は次のようになります。 モノトーンの連続。たとえば、シーケンス 2、4、8、16、32、... は単調増加シーケンス (b1=2、q=2) です。

等比誤差の分母 q=1 の場合、等比数列のすべてのメンバーは互いに等しくなります。そのような場合、進行は次のように言われます。 一定のシーケンス。

等比数列の n 番目の要素の式

数列 (bn) が等比数列であるためには、2 番目から始まる各メンバーが隣接するメンバーの幾何平均である必要があります。つまり、次の式を満たす必要があります。
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2)、任意の n>0 の場合、n は自然数の集合 N に属します。

等比数列の n 番目の要素の式は次のとおりです。

bn=b1*q^(n-1),

ここで、n は自然数の集合 N に属します。

等比数列の最初の n 項の和の式

等比数列の最初の n 項の和の式は次のとおりです。

Sn = (bn*q - b1)/(q-1) ここで、q は 1 ではありません。

簡単な例を考えてみましょう:

等比数列 b1=6, q=3, n=8 で Sn を求めます。

S8 を求めるには、等比数列の最初の n 項の和の式を使用します。

S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19680.

>>数学: 等比数列

読者の便宜のために、このセクションは前のセクションで従ったのとまったく同じ計画に従います。

1. 基本概念。

意味。すべての要素が 0 ではなく、2 番目から始まる各要素が前の要素に同じ数を掛けることによって得られる数列は、等比数列と呼ばれます。この場合、数 5 は等比数列の分母と呼ばれます。

したがって、等比数列は、次の関係によって再帰的に与えられる数列 (b n) です。

数列を見て、それが等比数列かどうかを判断することはできますか? できる。シーケンスのいずれかのメンバーと前のメンバーの比率が一定であると確信している場合、等比数列があります。
例 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1、q = 3。

例 2

これは等比数列です。
例 3

これは等比数列です。
例 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

これは等比数列で、b 1 - 8、q = 1 です。

この数列も等差数列であることに注意してください (§ 15 の例 3 を参照)。

例 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

これは等比数列であり、b 1 \u003d 2、q \u003d -1です。

明らかに、等比数列は、b 1 > 0, q > 1 の場合は増加数列であり (例 1 を参照)、b 1 > 0, 0 の場合は減少数列です。< q < 1 (см. пример 2).

数列 (b n) が等比数列であることを示すには、次の表記法が便利な場合があります。

このアイコンは、「幾何学的進行」というフレーズを置き換えます。
等比級数の興味深いと同時に非常に明白な特性に注意してください。
シーケンスの場合等比数列である場合、正方形のシーケンス、つまり等比数列です。
2 番目の等比数列では、最初の項は q 2 に等しい a に等しくなります。
b n に続くすべての項を指数関数的に破棄すると、有限等比数列が得られます。
このセクションの次の段落では、等比数列の最も重要なプロパティを検討します。

2. 等比数列の第 n 項の式。

幾何級数を考える分母q。我々は持っています：

任意の数 n について次の式を推測するのは難しくありません。

これは等比数列の n 項の式です。

コメント。

前の段落の重要な注意事項を読んで理解したら、等差数列の n 項の式で行ったのと同じように、式 (1) を数学的帰納法で証明してみてください。

等比数列の第n項の式を書き直してみましょう

表記法を導入します：y \u003d mq 2を取得します。または、より詳細には、
引数 x は指数に含まれるため、このような関数は指数関数と呼ばれます。これは、等比数列が自然数の集合 N で与えられる指数関数と見なすことができることを意味します。図上。図９６ａは、図９５の関数のグラフを示す。 966 - 関数グラフどちらの場合も、いくつかの曲線上に孤立した点 (横座標 x = 1、x = 2、x = 3 など) があります (両方の図は同じ曲線を示していますが、位置と縮尺が異なるだけです)。この曲線は指数と呼ばれます。指数関数とそのグラフの詳細については、11 年生の代数コースで説明します。

前の段落の例 1 ～ 5 に戻りましょう。

1) 1、3、9、27、81、... . これは幾何級数であり、b 1 \u003d 1、q \u003d 3です.n番目の項の式を作りましょう
2) これは等比数列で、n 項を定式化しましょう

これは等比数列です。 n 項の式を作成します。
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . これは等比数列であり、b 1 \u003d 8、q \u003d 1です.n番目の項の式を作りましょう
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... これは等比数列で、b 1 = 2、q = -1 です。 n 項の式を作成します。

例 6

与えられた等比級数

いずれの場合も、解は等比数列の n 番目の要素の式に基づいています。

a) 等比数列の n 項の式に n = 6 を入れると、次のようになります。

b）私たちは持っています

512 \u003d 2 9 から、n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 が得られます。

d) 私たちは持っています

例 7

等比数列の 7 番目と 5 番目の要素の差は 48 で、数列の 5 番目と 6 番目の要素の合計も 48 です。この数列の 12 番目の要素を見つけます。

最初の段階。数学モデルの作成。

タスクの条件は、次のように簡単に記述できます。

等比数列の n 番目のメンバーの式を使用すると、次のようになります。
次に、問題の 2 番目の条件 (b 7 - b 5 = 48) は次のように記述できます。

問題の 3 番目の条件 (b 5 +b 6 = 48) は、次のように記述できます。

その結果、2 つの変数 b 1 と q を持つ 2 つの連立方程式が得られます。

これは、上記の条件 1) と組み合わせて、問題の数学的モデルです。

第二段階。

コンパイル済みモデルの操作。システムの両方の方程式の左部分を等しくすると、次のようになります。

(式の両辺を式 b 1 q 4 に分割しましたが、これはゼロとは異なります)。

式 q 2 - q - 2 = 0 から、q 1 = 2、q 2 = -1 が得られます。値 q = 2 をシステムの 2 番目の方程式に代入すると、次の式が得られます。
値 q = -1 をシステムの 2 番目の方程式に代入すると、b 1 1 0 = 48 が得られます。この方程式には解がありません。