Matemātika ir kascilvēki kontrolē dabu un sevi.
Padomju matemātiķis, akadēmiķis A.N. Kolmogorovs
Ģeometriskā progresija.
Līdzās aritmētiskās progresijas problēmām matemātikas iestājpārbaudījumos bieži sastopamas arī problēmas, kas saistītas ar ģeometriskās progresijas jēdzienu. Lai veiksmīgi atrisinātu šādas problēmas, ir jāzina ģeometrisko progresiju īpašības un jābūt labām iemaņām to lietošanā.
Šis raksts ir veltīts ģeometriskās progresijas pamatīpašību izklāstam. Šeit sniegti arī tipisku problēmu risināšanas piemēri., aizgūts no iestājpārbaudījumu uzdevumiem matemātikā.
Vispirms atzīmēsim ģeometriskās progresijas pamatīpašības un atcerēsimies svarīgākās formulas un apgalvojumus, saistīta ar šo jēdzienu.
Definīcija. Skaitļu secību sauc par ģeometrisko progresiju, ja katrs skaitlis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.
Ģeometriskajai progresijaiformulas ir derīgas
, (1)
Kur. Formulu (1) sauc par ģeometriskās progresijas vispārīgā termina formulu, un formula (2) atspoguļo ģeometriskās progresijas galveno īpašību: katrs progresijas termins sakrīt ar blakus esošo terminu ģeometrisko vidējo vērtību un .
Piezīme, ka tieši šīs īpašības dēļ attiecīgo progresiju sauc par “ģeometrisku”.
Iepriekš minētās formulas (1) un (2) ir vispārinātas šādi:
, (3)
Lai aprēķinātu summu vispirms ģeometriskās progresijas locekļitiek piemērota formula
Ja apzīmējam , tad
Kur. Tā kā , formula (6) ir formulas (5) vispārinājums.
Gadījumā, kad un ģeometriskā progresijabezgalīgi samazinās. Lai aprēķinātu summuno visiem bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdiem tiek izmantota formula
. (7)
Piemēram , izmantojot formulu (7), mēs varam parādīt, Kas
Kur. Šīs vienādības tiek iegūtas no formulas (7) ar nosacījumu, ka , (pirmā vienādība) un , (otrā vienādība).
Teorēma. Ja tad
Pierādījums. Ja tad
Teorēma ir pierādīta.
Apskatīsim problēmu risināšanas piemērus par tēmu “Ģeometriskā progresija”.
1. piemērs.Ņemot vērā: , un . Atrast.
Risinājums. Ja piemērojam formulu (5), tad
Atbilde: .
2. piemērs. Lai notiek. Atrast.
Risinājums. Kopš un , mēs izmantojam formulas (5), (6) un iegūstam vienādojumu sistēmu
Ja sistēmas (9) otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai . No tā izriet, ka . Apskatīsim divus gadījumus.
1. Ja tad no pirmā sistēmas (9) vienādojuma mums ir.
2. Ja , tad .
3. piemērs.Ļaujiet , un . Atrast.
Risinājums. No formulas (2) izriet, ka vai . Kopš , tad vai .
Pēc nosacījuma. Tomēr tāpēc. Kopš un tad šeit mums ir vienādojumu sistēma
Ja sistēmas otro vienādojumu dala ar pirmo, tad vai .
Tā kā vienādojumam ir unikāla piemērota sakne. Šajā gadījumā tas izriet no sistēmas pirmā vienādojuma.
Ņemot vērā formulu (7), iegūstam.
Atbilde: .
4. piemērs.Ņemot vērā: un . Atrast.
Risinājums. Kopš tā laika.
Kopš , tad vai
Saskaņā ar formulu (2) mums ir . Šajā sakarā no vienādības (10) iegūstam vai .
Tomēr ar nosacījumu, tāpēc.
5. piemērs. Ir zināms, ka. Atrast.
Risinājums. Saskaņā ar teorēmu mums ir divas vienādības
Kopš , tad vai . Jo tad.
Atbilde: .
6. piemērs.Ņemot vērā: un . Atrast.
Risinājums.Ņemot vērā formulu (5), iegūstam
Kopš tā laika. Kopš , un , tad .
7. piemērs. Lai notiek. Atrast.
Risinājums. Pēc formulas (1) mēs varam rakstīt
Tāpēc mums ir vai . Ir zināms, ka un , tāpēc un .
Atbilde: .
8. piemērs. Atrodiet bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas saucēju, ja
Un .
Risinājums. No formulas (7) izriet Un . No šejienes un no uzdevuma nosacījumiem mēs iegūstam vienādojumu sistēmu
Ja pirmais sistēmas vienādojums ir kvadrātā, un pēc tam sadaliet iegūto vienādojumu ar otro vienādojumu, tad mēs saņemam
Vai .
Atbilde: .
9. piemērs. Atrodiet visas vērtības, kurām secība , ir ģeometriskā progresija.
Risinājums.Ļaujiet , un . Saskaņā ar formulu (2), kas nosaka ģeometriskās progresijas galveno īpašību, mēs varam rakstīt vai .
No šejienes mēs iegūstam kvadrātvienādojumu, kuru saknes ir Un .
Pārbaudīsim: ja, pēc tam , un ; ja , tad , un .
Pirmajā gadījumā mums ir un , un otrajā – un .
Atbilde: ,.
10. piemērs.Atrisiniet vienādojumu
, (11)
kur un.
Risinājums. Vienādojuma (11) kreisā puse ir bezgalīgas dilstošās ģeometriskās progresijas summa, kurā un , ievērojot: un .
No formulas (7) izriet, Kas . Šajā sakarā vienādojums (11) iegūst formu vai . Piemērota sakne kvadrātvienādojums ir
Atbilde: .
11. piemērs. P pozitīvo skaitļu secībaveido aritmētisko progresiju, A - ģeometriskā progresija, kāds tam sakars ar . Atrast.
Risinājums. Jo aritmētiskā secība, Tas (aritmētiskās progresijas galvenā īpašība). Tāpēc ka, tad vai . Tas nozīmē, ka ģeometriskajai progresijai ir forma. Saskaņā ar formulu (2), tad mēs to pierakstām.
Kopš un , tad . Šajā gadījumā izteiksme iegūst formu vai . Pēc nosacījuma, tātad no Eq.mēs iegūstam unikālu risinājumu izskatāmajai problēmai, t.i. .
Atbilde: .
12. piemērs. Aprēķināt summu
. (12)
Risinājums. Reiziniet abas vienādības puses (12) ar 5 un iegūstiet
Ja no iegūtās izteiksmes atņemam (12)., Tas
vai .
Lai aprēķinātu, vērtības aizstājam ar formulu (7) un iegūstam . Kopš tā laika.
Atbilde: .
Šeit sniegtie problēmu risināšanas piemēri būs noderīgi reflektantiem, gatavojoties iestājpārbaudījumiem. Problēmu risināšanas metožu dziļākai izpētei, kas saistīti ar ģeometrisko progresiju, Var izmantot mācību līdzekļi no ieteicamās literatūras saraksta.
1. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem / Red. M.I. Scanavi. – M.: Mir and Education, 2013. – 608 lpp.
2. Suprun V.P. Matemātika vidusskolēniem: papildu sadaļas skolas programmā. – M.: Lenands / URSS, 2014. – 216 lpp.
3. Medynsky M.M. Pilns kurss elementārā matemātika uzdevumos un vingrinājumos. 2. grāmata: skaitļu secības un progresēšana. – M.: Editus, 2015. – 208 lpp.
Vai joprojām ir jautājumi?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.
22.09.2018 22:00Ģeometriskā progresija kopā ar aritmētisko progresiju ir svarīga skaitļu rinda, kas tiek pētīta skolas algebras kursā 9. klasē. Šajā rakstā mēs aplūkosim ģeometriskās progresijas saucēju un to, kā tā vērtība ietekmē tās īpašības.
Ģeometriskās progresijas definīcija
Vispirms sniegsim šīs skaitļu sērijas definīciju. Ģeometriskā progresija ir racionālu skaitļu virkne, kas tiek veidota, secīgi reizinot tās pirmo elementu ar konstantu skaitli, ko sauc par saucēju.
Piemēram, skaitļi sērijās 3, 6, 12, 24, ... ir ģeometriska progresija, jo, reizinot 3 (pirmo elementu) ar 2, jūs iegūstat 6. Ja reizinat 6 ar 2, jūs iegūstat 12, un tā tālāk.
Apskatāmās secības dalībniekus parasti apzīmē ar simbolu ai, kur i ir vesels skaitlis, kas norāda elementa numuru sērijā.
Iepriekš minēto progresijas definīciju matemātiskā valodā var uzrakstīt šādi: an = bn-1 * a1, kur b ir saucējs. Šo formulu ir viegli pārbaudīt: ja n = 1, tad b1-1 = 1, un mēs iegūstam a1 = a1. Ja n = 2, tad an = b * a1, un mēs atkal nonākam pie attiecīgās skaitļu sērijas definīcijas. Līdzīgu argumentāciju var turpināt attiecībā uz lielām n vērtībām.
Ģeometriskās progresijas saucējs
Skaitlis b pilnībā nosaka, kāda rakstzīme būs visai skaitļu sērijai. Saucējs b var būt pozitīvs, negatīvs vai lielāks vai mazāks par vienu. Visas iepriekš minētās opcijas rada dažādas secības:
- b > 1. Pastāv arvien lielāka racionālo skaitļu rinda. Piemēram, 1, 2, 4, 8, ... Ja elements a1 ir negatīvs, tad visa secība pieaugs tikai absolūtā vērtībā, bet samazinās atkarībā no skaitļu zīmes.
- b = 1. Bieži vien šo gadījumu nesauc par progresiju, jo ir parasta identisku racionālu skaitļu rinda. Piemēram, -4, -4, -4.
Summas formula
Pirms pāriet pie konkrētu problēmu izskatīšanas, izmantojot aplūkojamā progresijas veida saucēju, ir jāsniedz svarīga formula tās pirmo n elementu summai. Formula izskatās šādi: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Šo izteiksmi varat iegūt pats, ja ņemat vērā progresijas terminu rekursīvo secību. Ņemiet vērā arī to, ka iepriekš minētajā formulā pietiek zināt tikai pirmo elementu un saucēju, lai atrastu patvaļīga skaita terminu summu.
Bezgalīgi dilstoša secība
Iepriekš tika sniegts paskaidrojums par to, kas tas ir. Tagad, zinot Sn formulu, piemērosim to šai skaitļu sērijai. Tā kā jebkuram skaitlim, kura modulis nepārsniedz 1, ir tendence uz nulli, ja to palielina līdz lielām pakāpēm, tas ir, b∞ => 0, ja -1
Tā kā starpība (1 - b) vienmēr būs pozitīva, neatkarīgi no saucēja vērtības, bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas S∞ summas zīmi unikāli nosaka tās pirmā elementa zīme a1.
Tagad apskatīsim vairākas problēmas, kurās parādīsim, kā iegūtās zināšanas pielietot konkrētiem skaitļiem.
Uzdevums Nr. 1. Nezināmu progresijas elementu un summas aprēķināšana
Ņemot vērā ģeometrisko progresiju, progresijas saucējs ir 2, un tās pirmais elements ir 3. Ar ko būs vienāds tās 7. un 10. loceklis un kāda ir tās septiņu sākotnējo elementu summa?
Problēmas nosacījums ir diezgan vienkāršs un ietver tiešu iepriekš minēto formulu izmantošanu. Tātad, lai aprēķinātu elementa numuru n, mēs izmantojam izteiksmi an = bn-1 * a1. 7. elementam mums ir: a7 = b6 * a1, aizstājot zināmos datus, mēs iegūstam: a7 = 26 * 3 = 192. Mēs darām to pašu ar 10. terminu: a10 = 29 * 3 = 1536.
Izmantosim labi zināmo summas formulu un noteiksim šo vērtību sērijas pirmajiem 7 elementiem. Mums ir: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Uzdevums Nr. 2. Progresijas patvaļīgu elementu summas noteikšana
Pieņemsim, ka -2 ir vienāds ar ģeometriskās progresijas saucēju bn-1 * 4, kur n ir vesels skaitlis. Nepieciešams noteikt summu no šīs sērijas 5. līdz 10. elementam, ieskaitot.
Uzdoto problēmu nevar tieši atrisināt, izmantojot zināmas formulas. To var atrisināt, izmantojot 2 dažādas metodes. Lai tēmas izklāsts būtu pilnīgs, mēs piedāvājam abus.
1. metode. Ideja ir vienkārša: jums ir jāaprēķina divas atbilstošās pirmo vārdu summas un pēc tam no viena jāatņem otrs. Mēs aprēķinām mazāko summu: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Tagad mēs aprēķinām lielāku summu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Ņemiet vērā, ka pēdējā izteiksmē tika summēti tikai 4 termini, jo 5. jau ir iekļauts summā, kas jāaprēķina atbilstoši uzdevuma nosacījumiem. Visbeidzot, mēs ņemam starpību: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
2. metode. Pirms skaitļu aizstāšanas un skaitīšanas var iegūt formulu summai starp attiecīgās sērijas m un n vārdiem. Mēs darām tieši tāpat kā 1. metodē, tikai vispirms strādājam ar simbolisku summas attēlojumu. Mums ir: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Iegūtajā izteiksmē varat aizstāt zināmus skaitļus un aprēķināt gala rezultātu: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Uzdevums Nr. 3. Kas ir saucējs?
Ļaujiet a1 = 2 atrast ģeometriskās progresijas saucēju, ja tā bezgalīgā summa ir 3 un ir zināms, ka šī ir dilstoša skaitļu virkne.
Pamatojoties uz problēmas apstākļiem, nav grūti uzminēt, kura formula jāizmanto, lai to atrisinātu. Protams, progresijas summai, kas bezgalīgi samazinās. Mums ir: S∞ = a1 / (1 - b). No kurienes mēs izsakām saucēju: b = 1 - a1 / S∞. Atliek aizstāt zināmās vērtības un iegūt vajadzīgo skaitli: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 vai -0,333 (3). Šo rezultātu varam kvalitatīvi pārbaudīt, ja atceramies, ka šāda veida secībai modulim b nevajadzētu pārsniegt 1. Kā redzams, |-1 / 3|
Uzdevums Nr.4. Ciparu sērijas atjaunošana
Doti 2 skaitļu sērijas elementi, piemēram, 5. ir vienāds ar 30 un 10. ir vienāds ar 60. No šiem datiem ir jārekonstruē visa sērija, zinot, ka tā apmierina ģeometriskās progresijas īpašības.
Lai atrisinātu problēmu, vispirms ir jāpieraksta atbilstošā izteiksme katram zināmajam terminam. Mums ir: a5 = b4 * a1 un a10 = b9 * a1. Tagad sadaliet otro izteiksmi ar pirmo, iegūstam: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. No šejienes mēs nosakām saucēju, ņemot piekto sakni no problēmas formulējuma zināmo terminu attiecības, b = 1,148698. Mēs aizstājam iegūto skaitli vienā no zināmā elementa izteiksmēm, iegūstam: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.
Tādējādi mēs atradām progresijas bn saucēju un ģeometrisko progresiju bn-1 * 17.2304966 = an, kur b = 1.148698.
Kur tiek izmantotas ģeometriskās progresijas?
Ja šai skaitļu rindai nebūtu praktiskas pielietošanas, tad tās izpēte tiktu reducēta līdz tīri teorētiskai interesei. Bet šāds pieteikums pastāv.
Zemāk ir 3 slavenākie piemēri:
- Zenona paradokss, kurā veiklais Ahillejs nespēj panākt lēno bruņurupuci, tiek atrisināts, izmantojot bezgalīgi dilstošās skaitļu virknes koncepciju.
- Ja uz katra šaha galdiņa lauciņa ievieto kviešu graudus tā, lai uz 1. lauciņu liktu 1 graudu, uz 2. - 2, uz 3. - 3 un tā tālāk, tad lai aizpildītu visus laukuma lauciņu 18446744073709551615 graudi!
- Spēlē "Tower of Hanoi", lai pārvietotu diskus no viena stieņa uz otru, ir jāveic 2n - 1 darbības, tas ir, to skaits pieaug eksponenciāli līdz ar izmantoto disku skaitu n.
Kievyan Street, 16 0016 Armēnija, Erevāna +374 11 233 255
Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam noteikt, kurš ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:
Skaitļu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.
Piemēram, mūsu secībai:
Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par n-to kārtas locekli.
Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .
Mūsu gadījumā:
Visizplatītākie progresijas veidi ir aritmētiskā un ģeometriskā. Šajā tēmā mēs runāsim par otro veidu - ģeometriskā progresija.
Kāpēc ir nepieciešama ģeometriskā progresija un tās vēsture?
Pat senatnē itāļu matemātiķis mūks Leonardo no Pizas (labāk pazīstams kā Fibonači) nodarbojās ar tirdzniecības praktiskajām vajadzībām. Mūks saskārās ar uzdevumu noteikt, kāds ir mazākais atsvaru skaits, ko var izmantot produkta svēršanai? Savos darbos Fibonači pierāda, ka šāda svaru sistēma ir optimāla: Šī ir viena no pirmajām situācijām, kurā cilvēkiem nācās saskarties ar ģeometrisko progresiju, par kuru jūs, iespējams, jau esat dzirdējuši un par kuru jums ir vismaz vispārēja izpratne. Kad esat pilnībā sapratis tēmu, padomājiet par to, kāpēc šāda sistēma ir optimāla?
Šobrīd dzīves praksē ģeometriskā progresija izpaužas, ieguldot naudu bankā, kad tiek uzkrāta procentu summa par kontā uzkrāto summu par iepriekšējo periodu. Proti, ja noguldāt naudu termiņnoguldījumā krājkasē, tad pēc gada depozīts pieaugs par sākotnējo summu, t.i. jaunā summa būs vienāda ar iemaksu, kas reizināta ar. Citā gadā šī summa pieaugs par, t.i. toreiz iegūtā summa atkal tiks reizināta ar un tā tālāk. Līdzīga situācija ir aprakstīta t.s. aprēķināšanas problēmās saliktie procenti– procenti tiek ņemti katru reizi no summas, kas atrodas kontā, ņemot vērā iepriekšējos procentus. Par šiem uzdevumiem mēs runāsim nedaudz vēlāk.
Ir daudz vairāk vienkāršu gadījumu, kad tiek piemērota ģeometriskā progresija. Piemēram, gripas izplatība: viens cilvēks inficēja otru cilvēku, viņi, savukārt, inficēja otru cilvēku, un līdz ar to otrais inficēšanās vilnis ir cilvēks, un viņi, savukārt, inficēja citu... un tā tālāk. .
Starp citu, finanšu piramīda, tas pats MMM, ir vienkāršs un sauss aprēķins, kas balstīts uz ģeometriskās progresijas īpašībām. Interesanti? Izdomāsim.
Ģeometriskā progresija.
Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība:
Jūs uzreiz atbildēsit, ka tas ir vienkārši, un šādas secības nosaukums ir ar tās dalībnieku atšķirību. Kā ar šo:
Ja atņemat iepriekšējo skaitli no nākamā skaitļa, jūs redzēsiet, ka katru reizi iegūstat jaunu starpību (un tā tālāk), bet secība noteikti pastāv un ir viegli pamanāma - katrs nākamais skaitlis ir reizes lielāks par iepriekšējo!
Šo skaitļu secības veidu sauc ģeometriskā progresija un ir norādīts.
Ģeometriskā progresija () ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles, un katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.
Ierobežojumi, ka pirmais termins ( ) nav vienāds un nav nejauši. Pieņemsim, ka tādu nav, un pirmais loceklis joprojām ir vienāds, un q ir vienāds ar, hmm.. lai tā būtu, tad izrādās:
Piekrītiet, ka tā vairs nav virzība.
Kā jūs saprotat, mēs iegūsim tādus pašus rezultātus, ja ir kāds cits skaitlis, nevis nulle, a. Šādos gadījumos progresija vienkārši nenotiks, jo visa skaitļu sērija būs vai nu visas nulles, vai viens skaitlis, un visas pārējās būs nulles.
Tagad parunāsim sīkāk par ģeometriskās progresijas saucēju, tas ir, o.
Atkārtosim: - tas ir skaitlis cik reizes mainās katrs nākamais termins?ģeometriskā progresija.
Kā jūs domājat, kas tas varētu būt? Tas ir pareizi, pozitīvi un negatīvi, bet ne nulle (mēs par to runājām nedaudz augstāk).
Pieņemsim, ka mūsējais ir pozitīvs. Ļaujiet mūsu gadījumā a. Kāda ir otrā termiņa vērtība un? Uz to varat viegli atbildēt:
Pareizi. Attiecīgi, ja, tad visiem nākamajiem progresijas terminiem ir viena un tā pati zīme - tie ir pozitīvas.
Ko darīt, ja tas ir negatīvs? Piemēram, a. Kāda ir otrā termiņa vērtība un?
Tas ir pavisam cits stāsts
Mēģiniet saskaitīt šīs progresēšanas nosacījumus. Cik tu dabūji? man ir. Tādējādi, ja, tad ģeometriskās progresijas vārdu zīmes mijas. Tas ir, ja redzat progresu ar mainīgām zīmēm tās dalībniekiem, tad tā saucējs ir negatīvs. Šīs zināšanas var palīdzēt pārbaudīt sevi, risinot problēmas par šo tēmu.
Tagad nedaudz trenēsimies: mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir ģeometriskā progresija un kuras ir aritmētiskā:
Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
- Ģeometriskā progresija – 3, 6.
- Aritmētiskā progresija – 2, 4.
- Tā nav ne aritmētiskā, ne ģeometriskā progresija – 1, 5, 7.
Atgriezīsimies pie savas pēdējās progresijas un mēģināsim atrast tās locekli, tāpat kā aritmētiskajā. Kā jūs, iespējams, uzminējāt, ir divi veidi, kā to atrast.
Mēs secīgi reizinām katru terminu ar.
Tātad aprakstītās ģeometriskās progresijas th termins ir vienāds ar.
Kā jau uzminējāt, tagad jūs pats izveidosit formulu, kas palīdzēs atrast jebkuru ģeometriskās progresijas locekli. Vai arī esat to jau izstrādājis sev, aprakstot, kā soli pa solim atrast th dalībnieku? Ja tā, tad pārbaudiet sava argumentācijas pareizību.
Ilustrēsim to ar piemēru, kā atrast šīs progresijas kārtu:
Citiem vārdiem sakot:
Dotās ģeometriskās progresijas termiņa vērtību atrodiet pats.
Vai notika? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, secīgi reizinot ar katru iepriekšējo ģeometriskās progresijas vienumu.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu - formulēsim to vispārīgā formā un iegūsim:
Atvasinātā formula attiecas uz visām vērtībām - gan pozitīvajām, gan negatīvajām. Pārbaudiet to pats, aprēķinot ģeometriskās progresijas nosacījumus ar šādiem nosacījumiem: , a.
Vai skaitījāt? Salīdzināsim rezultātus:
Piekrītiet, ka būtu iespējams atrast progresijas termiņu tāpat kā terminu, tomēr pastāv iespēja nepareizi aprēķināt. Un, ja jau esam atraduši ģeometriskās progresijas th terminu, tad kas var būt vienkāršāks par formulas “saīsinātās” daļas izmantošanu.
Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija.
Pavisam nesen mēs runājām par to, ka tas var būt lielāks vai mazāks par nulli, tomēr ir īpašas vērtības, kurām sauc ģeometrisko progresiju. bezgalīgi samazinās.
Kāpēc, jūsuprāt, šis vārds ir dots?
Vispirms pierakstīsim ģeometrisko progresiju, kas sastāv no terminiem.
Teiksim, tad:
Mēs redzam, ka katrs nākamais termins ir par koeficientu mazāks par iepriekšējo, bet vai būs kāds skaitlis? Jūs uzreiz atbildēsit “nē”. Tāpēc tas bezgalīgi samazinās – samazinās un samazinās, bet nekad nekļūst par nulli.
Lai skaidri saprastu, kā tas izskatās vizuāli, mēģināsim uzzīmēt mūsu progresa grafiku. Tātad mūsu gadījumā formulai ir šāda forma:
Grafikos mēs esam pieraduši attēlot atkarību no:
Izteiksmes būtība nav mainījusies: pirmajā ierakstā mēs parādījām ģeometriskās progresijas locekļa vērtības atkarību no tā kārtas skaitļa, bet otrajā ierakstā vienkārši ņēmām ģeometriskās progresijas locekļa vērtību kā , un apzīmēja kārtas numuru nevis kā, bet gan kā. Atliek tikai izveidot grafiku.
Paskatīsimies, kas jums ir. Lūk, grafiks, ko es izdomāju:
Vai tu redzi? Funkcija samazinās, tiecas uz nulli, bet nekad nešķērso to, tāpēc tā bezgalīgi samazinās. Atzīmēsim grafikā savus punktus un tajā pašā laikā koordinātu un nozīmi:
Mēģiniet shematiski attēlot ģeometriskās progresijas grafiku, ja arī tās pirmais loceklis ir vienāds. Analizējiet, kāda ir atšķirība no mūsu iepriekšējās diagrammas?
Vai jums izdevās? Lūk, grafiks, ko es izdomāju:
Tagad, kad esat pilnībā sapratis ģeometriskās progresijas tēmas pamatprincipus: jūs zināt, kas tas ir, jūs zināt, kā atrast tās terminu, kā arī zināt, kas ir bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija, pāriesim pie tās galvenās īpašības.
Ģeometriskās progresijas īpašība.
Vai atceraties aritmētiskās progresijas terminu īpašību? Jā, jā, kā atrast progresijas noteikta skaitļa vērtību, ja ir iepriekšējās un turpmākās šīs progresijas nosacījumu vērtības. Vai tu atceries? Šis:
Tagad mēs saskaramies ar tieši tādu pašu jautājumu par ģeometriskās progresijas nosacījumiem. Lai iegūtu šādu formulu, sāksim zīmēt un argumentēt. Jūs redzēsiet, tas ir ļoti vienkārši, un, ja aizmirsīsit, varat to dabūt ārā pats.
Paņemsim vēl vienu vienkāršu ģeometrisko progresiju, kurā mēs zinām un. Kā atrast? Ar aritmētisko progresiju tas ir viegli un vienkārši, bet kā ir šeit? Patiesībā arī ģeometrikā nav nekā sarežģīta - jums tikai jāpieraksta katra mums dotā vērtība pēc formulas.
Jūs varat jautāt, ko mums tagad darīt ar to? Jā, ļoti vienkārši. Vispirms attēlosim šīs formulas attēlā un mēģināsim ar tām veikt dažādas manipulācijas, lai nonāktu pie vērtības.
Abstrahēsimies no skaitļiem, kas mums ir doti, koncentrēsimies tikai uz to izteikšanu caur formulu. Mums jāatrod oranžā krāsā iezīmētā vērtība, zinot tai blakus esošos terminus. Mēģināsim ar tiem veikt dažādas darbības, kuru rezultātā varam iegūt.
Papildinājums.
Mēģināsim pievienot divas izteiksmes, un mēs iegūstam:
No šī izteiksmes, kā redzat, mēs to nekādā veidā nevaram izteikt, tāpēc mēs mēģināsim citu iespēju - atņemšanu.
Atņemšana.
Kā redzat, mēs arī to nevaram izteikt, tāpēc mēģināsim šos izteicienus pavairot vienu ar otru.
Reizināšana.
Tagad uzmanīgi apskatiet to, kas mums ir, reizinot mums dotās ģeometriskās progresijas nosacījumus, salīdzinot ar to, kas jāatrod:
Uzminiet, par ko es runāju? Pareizi, lai atrastu, ir jāņem kvadrātsakne no ģeometriskās progresijas skaitļiem, kas atrodas blakus vēlamajam, reizināti viens ar otru:
Lūk. Jūs pats atvasinājāt ģeometriskās progresijas īpašību. Mēģiniet uzrakstīt šo formulu vispārīgā formā. Vai notika?
Aizmirsāt nosacījumu? Padomājiet, kāpēc tas ir svarīgi, piemēram, mēģiniet to aprēķināt pats. Kas notiks šajā gadījumā? Tieši tā, pilnīgas muļķības, jo formula izskatās šādi:
Attiecīgi neaizmirstiet par šo ierobežojumu.
Tagad aprēķināsim, ar ko tas ir vienāds
Pareizā atbilde - ! Ja aprēķina laikā neesat aizmirsis otro iespējamo vērtību, tad esat lieliski un varat nekavējoties pāriet uz apmācību, un, ja esat aizmirsis, izlasiet tālāk aprakstīto un pievērsiet uzmanību tam, kāpēc abas saknes ir jāpieraksta atbildi.
Uzzīmēsim abas mūsu ģeometriskās progresijas – vienu ar vērtību un otru ar vērtību un pārbaudīsim, vai abām ir tiesības pastāvēt:
Lai pārbaudītu, vai šāda ģeometriskā progresija pastāv vai nē, ir jāskatās, vai visi tās dotie termini ir vienādi? Aprēķiniet q pirmajam un otrajam gadījumam.
Redziet, kāpēc mums ir jāraksta divas atbildes? Jo meklējamā termina zīme ir atkarīga no tā, vai tā ir pozitīva vai negatīva! Un tā kā mēs nezinām, kas tas ir, mums ir jāraksta abas atbildes ar plusu un mīnusu.
Tagad, kad esat apguvis galvenos punktus un atvasinājis formulu ģeometriskās progresijas īpašībai, atrodiet, ziniet un
Salīdziniet savas atbildes ar pareizajām:
Ko jūs domājat, kā būtu, ja mums dotu nevis ģeometriskās progresijas vārdu vērtības blakus vēlamajam skaitlim, bet vienādā attālumā no tā. Piemēram, mums ir jāatrod, un, ņemot vērā un. Vai šajā gadījumā mēs varam izmantot formulu, ko mēs atvasinājām? Mēģiniet apstiprināt vai atspēkot šo iespēju tādā pašā veidā, aprakstot, no kā sastāv katra vērtība, kā jūs to darījāt, kad sākotnēji atvasinājāt formulu, plkst.
Ko tu dabūji?
Tagad vēlreiz uzmanīgi apskatiet.
un attiecīgi:
No tā mēs varam secināt, ka formula darbojas ne tikai ar kaimiņiem ar vēlamajiem ģeometriskās progresijas nosacījumiem, bet arī ar vienādā attālumā no tā, ko biedri meklē.
Tādējādi mūsu sākotnējā formula ir šāda:
Tas ir, ja pirmajā gadījumā mēs to teicām, tagad mēs sakām, ka tas var būt vienāds ar jebkuru naturālu skaitli, kas ir mazāks. Galvenais, lai abiem dotajiem cipariem tas būtu vienāds.
Praktizējiet ar konkrētiem piemēriem, tikai esiet īpaši uzmanīgi!
- , . Atrast.
- , . Atrast.
- , . Atrast.
Izlemts? Ceru, ka bijāt ārkārtīgi uzmanīgs un pamanījāt nelielu lomu.
Salīdzināsim rezultātus.
Pirmajos divos gadījumos mēs mierīgi piemērojam iepriekš minēto formulu un iegūstam šādas vērtības:
Trešajā gadījumā, rūpīgi pārbaudot mums doto numuru sērijas numurus, mēs saprotam, ka tie neatrodas vienādā attālumā no mūsu meklētā numura: tas ir iepriekšējais numurs, bet tiek noņemts pozīcijā, tāpēc tas ir nav iespējams piemērot formulu.
Kā to atrisināt? Patiesībā tas nav tik grūti, kā šķiet! Pierakstīsim, no kā sastāv katrs mums iedotais numurs un numurs, kuru meklējam.
Tātad mums ir un. Paskatīsimies, ko mēs ar viņiem varam darīt? Iesaku dalīt ar. Mēs iegūstam:
Mēs aizstājam savus datus formulā:
Nākamais solis, ko mēs varam atrast, ir - šim mums ir jāņem iegūtā skaitļa kuba sakne.
Tagad apskatīsim vēlreiz, kas mums ir. Mums tas ir, bet mums tas ir jāatrod, un tas, savukārt, ir vienāds ar:
Mēs atradām visus nepieciešamos datus aprēķinam. Aizstāt formulā:
Mūsu atbilde: .
Mēģiniet pats atrisināt citu līdzīgu problēmu:
Ņemot vērā: ,
Atrast:
Cik tu dabūji? Man ir -.
Kā redzat, būtībā jums ir nepieciešams atcerieties tikai vienu formulu- . Visu pārējo jūs varat izņemt pats bez jebkādām grūtībām jebkurā laikā. Lai to izdarītu, vienkārši uzrakstiet uz papīra lapas vienkāršāko ģeometrisko progresiju un pierakstiet, ar ko katrs tās skaitlis ir vienāds, saskaņā ar iepriekš aprakstīto formulu.
Ģeometriskās progresijas vārdu summa.
Tagad apskatīsim formulas, kas ļauj ātri aprēķināt ģeometriskās progresijas terminu summu noteiktā intervālā:
Lai iegūtu formulu ierobežotas ģeometriskās progresijas terminu summai, visas iepriekš minētā vienādojuma daļas reiziniet ar. Mēs iegūstam:
Paskatieties uzmanīgi: kas ir kopīgs pēdējām divām formulām? Tieši tā, piemēram, parastie dalībnieki un tā tālāk, izņemot pirmo un pēdējo dalībnieku. Mēģināsim atņemt 1. no 2. vienādojuma. Ko tu dabūji?
Tagad izsakiet ģeometriskās progresijas terminu, izmantojot formulu, un aizstājiet iegūto izteiksmi ar mūsu pēdējo formulu:
Grupējiet izteiksmi. Jums vajadzētu iegūt:
Viss, kas jādara, ir izteikt:
Attiecīgi šajā gadījumā.
Ja? Kāda formula tad darbojas? Iedomājieties ģeometrisko progresiju pie. Kāda viņa ir? Identisku skaitļu sērija ir pareiza, tāpēc formula izskatīsies šādi:
Ir daudz leģendu gan par aritmētisko, gan ģeometrisko progresiju. Viena no tām ir leģenda par Setu, šaha radītāju.
Daudzi cilvēki zina, ka šaha spēle tika izgudrota Indijā. Kad hinduistu karalis viņu satika, viņš bija sajūsmā par viņas asprātību un viņā iespējamo amatu dažādību. Uzzinājis, ka to izgudroja kāds no viņa pavalstniekiem, karalis nolēma viņu personīgi apbalvot. Viņš izsauca izgudrotāju pie sevis un lika viņam lūgt visu, ko viņš vēlas, apsolot izpildīt pat visprasmīgāko vēlmi.
Seta lūdza laiku pārdomām, un, kad nākamajā dienā Seta parādījās karaļa priekšā, viņš pārsteidza karali ar viņa lūguma nepieredzēti pieticību. Viņš lūdza iedot kviešu graudu par pirmo šaha galdiņa lauciņu, kviešu graudu par otro, kviešu graudu par trešo, ceturto utt.
Karalis sadusmojās un padzina Setu, sakot, ka kalpa lūgums nav karaļa dāsnuma cienīgs, taču apsolīja, ka kalps saņems savus graudus par visiem dēļa laukumiem.
Un tagad jautājums: izmantojot ģeometriskās progresijas vārdu summas formulu, aprēķiniet, cik graudu Setam jāsaņem?
Sāksim argumentēt. Tā kā pēc nosacījuma Sets prasīja kviešu graudu pirmajam šaha galdiņa lauciņam, otrajam, trešajam, ceturtajam utt., tad redzam, ka problēma ir par ģeometrisko progresiju. Ar ko tas ir vienāds šajā gadījumā?
Pa labi.
Kopējais šaha galdiņa lauciņu skaits. Attiecīgi,. Mums ir visi dati, atliek tikai pievienot tos formulai un aprēķināt.
Lai vismaz aptuveni iedomāties dotā skaitļa “mērogu”, mēs pārveidojam, izmantojot pakāpes īpašības:
Protams, ja vēlaties, varat paņemt kalkulatoru un aprēķināt, ar kādu skaitli jūs nonākat, un, ja nē, jums būs jāpiekrīt manam vārdam: izteiksmes galīgā vērtība būs.
Tas ir:
kvintiljoni kvadriljoni triljoni miljardu miljonu tūkstošu.
Phew) Ja vēlaties iedomāties šī skaitļa milzīgumu, tad aprēķiniet, cik liels šķūnis būtu nepieciešams, lai uzņemtu visu graudu daudzumu.
Ja šķūnis ir m augsts un m plats, tā garumam būtu jāsniedzas par km, t.i. divreiz tālāk nekā no Zemes līdz Saulei.
Ja karalis būtu stiprs matemātikā, viņš varētu aicināt pašu zinātnieku skaitīt graudus, jo, lai saskaitītu miljonu graudu, viņam būtu nepieciešama vismaz diena nenogurstoša skaitīšana, un, ņemot vērā to, ka ir nepieciešams skaitīt kvintiljonus, graudus būtu jāskaita visu mūžu.
Tagad atrisināsim vienkāršu uzdevumu, kas ietver ģeometriskās progresijas vārdu summu.
Vasja 5.A klases skolēns saslima ar gripu, bet turpina iet uz skolu. Katru dienu Vasja inficē divus cilvēkus, kuri, savukārt, inficē vēl divus cilvēkus utt. Klasē ir tikai cilvēki. Pēc cik dienām visa klase būs slima ar gripu?
Tātad ģeometriskās progresijas pirmais termins ir Vasja, tas ir, cilvēks. Ģeometriskās progresijas termins ir divi cilvēki, kurus viņš inficēja pirmajā ierašanās dienā. Kopējā pārejas termiņu summa ir vienāda ar 5A studentu skaitu. Attiecīgi mēs runājam par progresu, kurā:
Aizstāsim savus datus ģeometriskās progresijas terminu summas formulā:
Visa klase saslims dažu dienu laikā. Netici formulām un skaitļiem? Mēģiniet pats attēlot skolēnu “infekciju”. Vai notika? Paskaties, kā man tas izskatās:
Aprēķiniet paši, cik dienu būtu nepieciešams, lai skolēni saslimtu ar gripu, ja katrs inficētu cilvēku, un klasē būtu tikai viens cilvēks.
Kādu vērtību jūs ieguvāt? Izrādījās, ka visi pēc dienas sāka slimot.
Kā redzams, šāds uzdevums un zīmējums tam atgādina piramīdu, kurā katrs nākamais “ieved” jaunus cilvēkus. Tomēr agrāk vai vēlāk pienāk brīdis, kad pēdējie nevar nevienu piesaistīt. Mūsu gadījumā, ja iedomājamies, ka klase ir izolēta, persona no aizver ķēdi (). Tādējādi, ja persona būtu iesaistīta finanšu piramīdā, kurā nauda tika dota, ja jūs atvedat divus citus dalībniekus, tad persona (vai vispār) nevienu neatnestu, attiecīgi zaudētu visu, ko viņi ieguldīja šajā finanšu krāpniecībā.
Viss, kas tika teikts iepriekš, attiecas uz ģeometriskās progresijas samazināšanos vai palielināšanos, taču, kā jūs atceraties, mums ir īpašs veids– bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija. Kā aprēķināt tā dalībnieku summu? Un kāpēc šāda veida progresēšanai ir noteiktas īpašības? Izdomāsim to kopā.
Tātad, pirmkārt, vēlreiz apskatīsim šo bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas zīmējumu no mūsu piemēra:
Tagad apskatīsim ģeometriskās progresijas summas formulu, kas iegūta nedaudz agrāk:
vai
Uz ko mēs tiecamies? Tieši tā, grafikā redzams, ka tai ir tendence uz nulli. Tas ir, pie, būs gandrīz vienāds, attiecīgi, aprēķinot izteiksmi, mēs iegūsim gandrīz. Šajā sakarā mēs uzskatām, ka, aprēķinot bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summu, šo iekavu var neņemt vērā, jo tā būs vienāda.
- formula ir bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summa.
SVARĪGS! Mēs izmantojam bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas terminu summas formulu tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka mums ir jāatrod summa bezgalīgs biedru skaits.
Ja ir norādīts konkrēts skaitlis n, tad mēs izmantojam formulu n vārdu summai, pat ja vai.
Tagad trenēsimies.
- Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo vārdu summu ar un.
- Atrodiet bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas vārdu summu ar un.
Es ceru, ka jūs bijāt ļoti uzmanīgs. Salīdzināsim mūsu atbildes:
Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresiju, un ir pienācis laiks pāriet no teorijas uz praksi. Visbiežāk sastopamās ģeometriskās progresijas problēmas eksāmenā ir salikto procentu aprēķināšanas problēmas. Tie ir tie, par kuriem mēs runāsim.
Problēmas salikto procentu aprēķināšanā.
Jūs droši vien esat dzirdējuši par tā saukto salikto procentu formulu. Vai jūs saprotat, ko tas nozīmē? Ja nē, izdomāsim, jo, tiklīdz jūs sapratīsit pašu procesu, jūs uzreiz sapratīsit, kāda ir ģeometriskā progresija ar to.
Mēs visi ejam uz banku un zinām, ka tādas ir dažādi apstākļi noguldījumiem: tas ietver termiņu, papildu uzturēšanu un procentus ar divām dažādām to aprēķināšanas metodēm - vienkāršu un sarežģītu.
AR vienkārša interese viss ir vairāk vai mazāk skaidrs: procenti tiek uzkrāti vienu reizi depozīta termiņa beigās. Tas ir, ja mēs sakām, ka noguldām 100 rubļus uz gadu, tad tie tiks ieskaitīti tikai gada beigās. Attiecīgi līdz depozīta beigām mēs saņemsim rubļus.
Saliktie procenti- tas ir variants, kurā tas notiek procentu kapitalizācija, t.i. to pievienošana depozīta summai un turpmāka ienākumu aprēķināšana nevis no sākotnējās, bet no uzkrātās depozīta summas. Lielo burtu lietojums nenotiek pastāvīgi, bet ar zināmu biežumu. Parasti šādi periodi ir vienādi un visbiežāk bankas izmanto mēnesi, ceturksni vai gadu.
Pieņemsim, ka katru gadu noguldām vienus un tos pašus rubļus, bet ar depozīta ikmēneša kapitalizāciju. Ko mēs darām?
Vai tu šeit visu saproti? Ja nē, izdomāsim to soli pa solim.
Atnesām uz banku rubļus. Līdz mēneša beigām mūsu kontā vajadzētu būt summai, kas sastāv no mūsu rubļiem un procentiem par tiem, tas ir:
Piekrītu?
Mēs varam to izņemt no iekavām, un tad mēs iegūstam:
Piekrītu, šī formula jau ir vairāk līdzīga tai, ko rakstījām sākumā. Atliek tikai izdomāt procentus
Problēmas izklāstā mums stāsta par gada likmēm. Kā jūs zināt, mēs nereizinām ar - mēs pārvēršam procentus decimāldaļdaļās, tas ir:
Pa labi? Tagad jūs varat jautāt, no kurienes cēlies numurs? Ļoti vienkārši!
Es atkārtoju: problēmas paziņojumā teikts par GADU uzkrātajiem procentiem MĒNEŠA. Kā zināms, pēc gada mēnešiem attiecīgi banka no mums iekasēs daļu no gada procentiem mēnesī:
Saprata to? Tagad mēģiniet uzrakstīt, kā šī formulas daļa izskatītos, ja es teiktu, ka procenti tiek aprēķināti katru dienu.
Vai jums izdevās? Salīdzināsim rezultātus:
Labi padarīts! Atgriezīsimies pie sava uzdevuma: uzrakstiet, cik mūsu kontā tiks ieskaitīts otrajā mēnesī, ņemot vērā, ka par uzkrāto depozīta summu tiek uzkrāti procenti.
Lūk, ko es saņēmu:
Vai, citiem vārdiem sakot:
Es domāju, ka jūs jau esat pamanījuši rakstu un tajā visā redzējāt ģeometrisku progresiju. Uzrakstiet, ar ko būs vienāds tā dalībnieks, jeb, citiem vārdiem sakot, kādu naudas summu mēs saņemsim mēneša beigās.
Vai? Pārbaudīsim!
Kā redzat, ieliekot naudu bankā uz gadu ar vienkāršu procentu likmi, jūs saņemsiet rubļus, un, ja salikto procentu likmi, jūs saņemsiet rubļus. Ieguvums ir neliels, bet tas notiek tikai gada laikā, bet ilgākā periodā kapitalizācija ir daudz izdevīgāka:
Apskatīsim cita veida problēmas, kas saistītas ar saliktajiem procentiem. Pēc tā, ko esi izdomājis, tev tas būs elementāri. Tātad, uzdevums:
Uzņēmums Zvezda sāka investēt šajā nozarē 2000. gadā ar kapitālu dolāros. Kopš 2001. gada ik gadu tas ir saņēmis peļņu, kas ir līdzvērtīga iepriekšējā gada kapitālam. Cik lielu peļņu uzņēmums Zvezda saņems 2003.gada beigās, ja peļņa netiks izņemta no apgrozības?
Uzņēmuma Zvezda kapitāls 2000. gadā.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2001. gadā.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2002. gadā.
- uzņēmuma Zvezda kapitāls 2003. gadā.
Vai arī mēs varam īsi uzrakstīt:
Mūsu gadījumā:
2000., 2001., 2002. un 2003. gads.
Attiecīgi:
rubļi
Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā uzdevumā mums nav dalījuma ne pēc, ne pēc, jo procenti tiek norādīti GADĀ un tiek aprēķināti GADĀ. Tas ir, lasot problēmu par saliktajiem procentiem, pievērsiet uzmanību tam, cik procenti ir norādīti un kurā periodā tie tiek aprēķināti, un tikai pēc tam pārejiet pie aprēķiniem.
Tagad jūs zināt visu par ģeometrisko progresiju.
Apmācība.
- Atrodiet ģeometriskās progresijas termiņu, ja ir zināms, ka un
- Atrodiet ģeometriskās progresijas pirmo vārdu summu, ja ir zināms, ka un
- Uzņēmums MDM Capital sāka investēt šajā nozarē 2003. gadā ar kapitālu dolāros. Kopš 2004. gada ik gadu tas ir saņēmis peļņu, kas ir līdzvērtīga iepriekšējā gada kapitālam. Uzņēmums MSK Cash Flows sāka investēt nozarē 2005. gadā 10 000 USD apmērā, 2006. gadā sākot nest peļņu. Par cik dolāriem viena uzņēmuma kapitāls ir lielāks par otra kapitālu 2007. gada beigās, ja peļņa netiktu izņemta no apgrozības?
Atbildes:
- Tā kā uzdevuma formulējumā nav teikts, ka progresija ir bezgalīga un ir jāatrod noteikta tā vārdu skaita summa, aprēķins tiek veikts pēc formulas:
MDM kapitālsabiedrība:2003., 2004., 2005., 2006., 2007. gads.
- palielinās par 100%, tas ir, 2 reizes.
Attiecīgi:
rubļi
Uzņēmums MSK naudas plūsmas:2005., 2006., 2007. gads.
- palielinās par, tas ir, par reizēm.
Attiecīgi:
rubļi
rubļi
Apkoposim.
1) Ģeometriskā progresija ( ) ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles un katrs, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.
2) Ģeometriskās progresijas nosacījumu vienādojums ir .
3) var pieņemt jebkuras vērtības, izņemot un.
- ja, tad visiem nākamajiem progresijas terminiem ir viena zīme - tie ir pozitīvas;
- ja, tad visus turpmākos progresijas nosacījumus alternatīvas zīmes;
- kad – progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu.
4) , at – ģeometriskās progresijas īpašība (blakus esošie vārdi)
vai
, pie (vienādi termini)
Kad atrodat, neaizmirstiet to vajadzētu būt divām atbildēm.
Piemēram,
5) Ģeometriskās progresijas vārdu summu aprēķina pēc formulas:
vai
vai
SVARĪGS! Mēs izmantojam bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas terminu summas formulu tikai tad, ja nosacījums skaidri nosaka, ka mums ir jāatrod bezgalīgi daudzu terminu summa.
6) Problēmas, kas saistītas ar saliktajiem procentiem, aprēķina arī, izmantojot ģeometriskās progresijas termiņa formulu, ja skaidrā naudā nav izņemti no apgrozības:
ĢEOMETRISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM
Ģeometriskā progresija( ) ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis atšķiras no nulles, un katrs loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, reizināts ar to pašu skaitli. Šo numuru sauc ģeometriskās progresijas saucējs.
Ģeometriskās progresijas saucējs var ņemt jebkuru vērtību, izņemot un.
- Ja, tad visiem nākamajiem progresijas terminiem ir vienāda zīme - tie ir pozitīvi;
- ja, tad visi nākamie progresijas dalībnieki aizstāj zīmes;
- kad – progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu.
Ģeometriskās progresijas terminu vienādojums - .
Ģeometriskās progresijas vārdu summa aprēķina pēc formulas:
vai
Ja progresēšana bezgalīgi samazinās, tad:
PĀRĒJIE 2/3 RAKSTI IR PIEEJAMI TIKAI YOUCLEVER STUDENTIEM!
Kļūsti par YouClever studentu,
Sagatavojies vienotajam valsts eksāmenam vai vienotajam valsts eksāmenam matemātikā par cenu “tase kafijas mēnesī”,
Un arī iegūstiet neierobežotu piekļuvi mācību grāmatai “YouClever”, sagatavošanas programmai “100gia” (risinātāju grāmatai), neierobežotam izmēģinājuma Vienotajam valsts eksāmenam un Vienotajam valsts eksāmenam, 6000 problēmu ar risinājumu analīzi un citiem YouClever un 100gia pakalpojumiem.
Ģeometriskā progresija ir skaitliska secība, kuras pirmais loceklis nav nulle, un katrs nākamais loceklis ir vienāds ar iepriekšējo terminu, kas reizināts ar to pašu skaitli, kas nav nulle.
Tiek apzīmēta ģeometriskā progresija b1, b2, b3, …, bn, … .
Jebkura ģeometriskās kļūdas vārda attiecība pret tās iepriekšējo daļu ir vienāda ar to pašu skaitli, tas ir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Tas tieši izriet no aritmētiskās progresijas definīcijas. Šo skaitli sauc par ģeometriskās progresijas saucēju. Parasti ģeometriskās progresijas saucēju apzīmē ar burtu q.
Monotona un nemainīga secība
Viens no veidiem, kā norādīt ģeometrisko progresiju, ir norādīt tās pirmo vārdu b1 un ģeometriskās kļūdas q saucēju. Piemēram, b1=4, q=-2. Šie divi nosacījumi nosaka ģeometrisko progresiju 4, -8, 16, -32, ….
Ja q>0 (q nav vienāds ar 1), tad progresija ir monotona secība. Piemēram, secība, 2, 4,8,16,32, ... ir monotoni augoša secība (b1=2, q=2).
Ja ģeometriskās kļūdas saucējs ir q=1, tad visi ģeometriskās progresijas locekļi būs vienādi viens ar otru. Šādos gadījumos viņi saka, ka progresēšana ir pastāvīga secība.
Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula
Lai skaitļu virkne (bn) būtu ģeometriska progresija, ir nepieciešams, lai katrs tās loceklis, sākot no otrā, būtu blakus esošo elementu ģeometriskais vidējais. Tas ir, ir jāizpilda šāds vienādojums
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), jebkuram n>0, kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.
Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula ir šāda:
bn=b1*q^(n-1),
kur n pieder naturālo skaitļu kopai N.
Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summas formula
Ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summas formulai ir šāda forma:
Sn = (bn*q - b1)/(q-1), kur q nav vienāds ar 1.
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
Ģeometriskā progresijā b1=6, q=3, n=8 atrod Sn.
Lai atrastu S8, mēs izmantojam formulu ģeometriskās progresijas pirmo n vārdu summai.
S8= (6*(3^8 -1))/(3-1) = 19 680.
>>Math: ģeometriskā progresija
Lasītāja ērtībām šī rindkopa ir veidota tieši saskaņā ar to pašu plānu, kuru mēs ievērojām iepriekšējā rindkopā.
1. Pamatjēdzieni.
Definīcija. Skaitlisku secību, kurā visi locekļi atšķiras no 0 un kuras katrs loceklis, sākot no otrā, iegūts no iepriekšējā locekļu, reizinot to ar to pašu skaitli, sauc par ģeometrisko progresiju. Šajā gadījumā skaitli 5 sauc par ģeometriskās progresijas saucēju.
Tādējādi ģeometriskā progresija ir skaitliska secība (b n), ko atkārtoti nosaka attiecības
Vai ir iespējams aplūkot skaitļu secību un noteikt, vai tā ir ģeometriska progresija? Var. Ja esat pārliecināts, ka jebkura secības locekļa attiecība pret iepriekšējo locekli ir nemainīga, tad jums ir ģeometriskā progresija.
1. piemērs.
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
2. piemērs.
Šī ir ģeometriskā progresija
3. piemērs.
Šī ir ģeometriskā progresija
4. piemērs.
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 - 8, q = 1.
Ņemiet vērā, ka šī secība ir arī aritmētiskā progresija (skatiet 3. piemēru no 15. §).
5. piemērs.
2,-2,2,-2,2,-2.....
Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 2, q = -1.
Acīmredzot ģeometriskā progresija ir augoša secība, ja b 1 > 0, q > 1 (skat. 1. piemēru), un dilstoša secība, ja b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).
Lai norādītu, ka secība (b n) ir ģeometriska progresija, dažreiz ir ērti izmantot šādu apzīmējumu:
Ikona aizstāj frāzi “ģeometriskā progresija”.
Atzīmēsim vienu dīvainu un tajā pašā laikā diezgan acīmredzamu ģeometriskās progresijas īpašību:
Ja secība 
ir ģeometriskā progresija, tad kvadrātu secība, t.i. 
ir ģeometriskā progresija.
Otrajā ģeometriskajā progresijā pirmais loceklis ir vienāds ar q 2 un vienāds ar to.
Ja ģeometriskā progresijā atmetam visus terminus, kas seko b n , iegūstam galīgu ģeometrisko progresiju 
Turpmākajos šīs sadaļas punktos mēs aplūkosim svarīgākās ģeometriskās progresijas īpašības.
2. Ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula.
Apsveriet ģeometrisko progresiju 
saucējs q. Mums ir:
Nav grūti uzminēt, ka jebkuram skaitlim n vienādība ir patiesa
Šī ir ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula.
komentēt.
Ja esat izlasījis svarīgo piezīmi no iepriekšējās rindkopas un sapratis to, tad mēģiniet pierādīt formulu (1), izmantojot matemātiskās indukcijas metodi, tāpat kā aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulai.
Pārrakstīsim ģeometriskās progresijas n-tā termiņa formulu
un ievadiet apzīmējumu: mēs iegūstam y = mq 2 vai, sīkāk, 
Arguments x ir ietverts eksponentā, tāpēc šo funkciju sauc par eksponenciālo funkciju. Tas nozīmē, ka ģeometrisko progresiju var uzskatīt par eksponenciālu funkciju, kas definēta uz naturālu skaitļu kopas N. Attēlā 96a parādīts funkcijas grafiks Fig. 966 - funkciju grafiks 
Abos gadījumos mums ir izolēti punkti (ar abscisēm x = 1, x = 2, x = 3 utt.), kas atrodas uz noteiktas līknes (abos attēlos redzama viena un tā pati līkne, tikai atšķirīgi izvietoti un attēloti dažādos mērogos). Šo līkni sauc par eksponenciālo līkni. Sīkāka informācija par eksponenciālo funkciju un tās grafiku tiks apspriesta 11. klases algebras kursā.
Atgriezīsimies pie 1.-5. piemēriem no iepriekšējās rindkopas.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Šī ir ģeometriskā progresija, kurai b 1 = 1, q = 3. Izveidosim formulu n-tam vārdam 
2) 
Šī ir ģeometriskā progresija, kurai izveidosim formulu n-tam terminam 
Šī ir ģeometriskā progresija 
Izveidosim n-tā termina formulu 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Šī ir ģeometriskā progresija, kurai b 1 = 8, q = 1. Izveidosim formulu n-tam vārdam 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Šī ir ģeometriskā progresija, kurā b 1 = 2, q = -1. Izveidosim n-tā termina formulu 
6. piemērs.
Dota ģeometriskā progresija
Visos gadījumos risinājuma pamatā ir ģeometriskās progresijas n-tā vārda formula
a) Ieliekot n = 6 ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulā, iegūstam
b) Mums ir
Tā kā 512 = 2 9, mēs iegūstam n - 1 = 9, n = 10.
d) Mums ir
7. piemērs.
Starpība starp ģeometriskās progresijas septīto un piekto daļu ir 48, progresijas piektā un sestā vārda summa arī ir 48. Atrodiet šīs progresijas divpadsmito biedru.
Pirmais posms. Matemātiskā modeļa sastādīšana.
Problēmas nosacījumus var īsi uzrakstīt šādi:
Izmantojot ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu, mēs iegūstam:
Tad otro uzdevuma nosacījumu (b 7 - b 5 = 48) var uzrakstīt kā
Trešo uzdevuma nosacījumu (b 5 + b 6 = 48) var uzrakstīt kā
Rezultātā mēs iegūstam divu vienādojumu sistēmu ar diviem mainīgajiem b 1 un q:
kas kombinācijā ar iepriekš rakstīto nosacījumu 1) attēlo problēmas matemātisko modeli.
Otrā fāze.
Darbs ar sastādīto modeli. Pielīdzinot abu sistēmas vienādojumu kreisās puses, mēs iegūstam:
(mēs sadalījām abas vienādojuma puses ar izteiksmi, kas nav nulle b 1 q 4).
No vienādojuma q 2 - q - 2 = 0 atrodam q 1 = 2, q 2 = -1. Aizvietojot vērtību q = 2 sistēmas otrajā vienādojumā, mēs iegūstam 
Sistēmas otrajā vienādojumā aizstājot vērtību q = -1, iegūstam b 1 1 0 = 48; šim vienādojumam nav atrisinājumu.
Tātad, b 1 =1, q = 2 - šis pāris ir kompilētās vienādojumu sistēmas risinājums.
Tagad varam pierakstīt uzdevumā aplūkoto ģeometrisko progresiju: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
Trešais posms.
Atbilde uz problēmas jautājumu. Jums jāaprēķina b 12. Mums ir
Atbilde: b 12 = 2048.
3. Galīgas ģeometriskās progresijas vārdu summas formula.
Dota ierobežota ģeometriskā progresija
Apzīmēsim ar S n tā vārdu summu, t.i.
Atvasināsim formulu šīs summas atrašanai.
Sāksim ar vienkāršāko gadījumu, kad q = 1. Tad ģeometriskā progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn sastāv no n skaitļiem, kas vienādi ar b 1 , t.i. progresija izskatās šādi: b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Šo skaitļu summa ir nb 1.
Tagad q = 1 Lai atrastu S n, pielietojam mākslīgu paņēmienu: veicam dažas izteiksmes S n q transformācijas. Mums ir:
Veicot transformācijas, mēs, pirmkārt, izmantojām ģeometriskās progresijas definīciju, saskaņā ar kuru (skat. trešo argumentācijas līniju); otrkārt, saskaitīja un atņēma, kādēļ izteiciena nozīme, protams, nemainījās (skat. ceturto prāta līniju); treškārt, mēs izmantojām ģeometriskās progresijas n-tā vārda formulu:
No formulas (1) mēs atrodam:
Šī ir formula ģeometriskās progresijas n vārdu summai (gadījumam, kad q = 1).
8. piemērs.
Dota ierobežota ģeometriskā progresija
a) progresijas termiņu summa; b) tā vārdu kvadrātu summa.
b) Iepriekš (sk. 132. lpp.) jau atzīmējām, ka, ja visus ģeometriskās progresijas dalībniekus saliek kvadrātā, tad iegūstam ģeometrisko progresiju ar pirmo terminu b 2 un saucēju q 2. Tad jaunās progresijas sešu terminu summa tiks aprēķināta ar
9. piemērs.
Atrodiet 8. ģeometriskās progresijas, kurai
Patiesībā mēs esam pierādījuši šādu teorēmu.
Skaitliskā secība ir ģeometriska progresija tad un tikai tad, ja katra tās vārda kvadrāts, izņemot pirmo teorēmu (un pēdējo, ierobežotas secības gadījumā), ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo vārdu reizinājumu ( ģeometriskās progresijas raksturīga īpašība).
