Taisnstūra paralēlskaldņa reizinājums ir ab. Formulas paralēlskaldņa tilpuma atrašanai. Problēmu risināšanas piemēri

22.08.2020

Kanalizācija

Lemma 1. Taisnstūra paralēlskaldņu tilpumi ar vienādām pamatnēm ir saistīti ar to augstumu.

Ja taisnstūrveida paralēlskaldņiem ir vienādas pamatnes, tad tos var ievietot vienu otrā.

Lai AG un AP (Zīm.) ir divi šādi paralēlskaldņi. Apskatīsim divus gadījumus.

1. BF un BN augstumi ir salīdzināmi.

Ļaujiet vispārējam augstuma mērījumam būt m reizes BF un n reizes BN.

Caur dalīšanas punktiem uzzīmēsim plakņu sēriju, kas ir paralēla pamatnei.

Tad paralēlskaldnis AG tiks sadalīts m, bet paralēlskaldnis AP n vienādās daļās.

Tādējādi mēs iegūstam:

$\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)$ un $\frac(Volume AG)(Apjoms AP)=\frac(m)(n) $

Tātad:

$\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(BF)(BN) $

2. BF un BN augstumi ir nesalīdzināmi.

Sadaliet BN n vienādās daļās un uzlieciet vienu daļu uz BF pēc iespējas vairāk reižu.

Lai BN daļa 1/n ir ietverta BF vairāk nekā m reizes, bet mazāka par m+1 reizi.

Tad, tāpat kā iepriekš zīmējot pamatnei paralēlu plakņu virkni, par-d AP sadalām n tādās vienādās daļās, lai par-de AG saturētu vairāk par m, bet mazāk par m+1.

Tātad:

apm.rel. $\frac(BF)(BN)=\frac(m)(n)$ un apm.rel. $\frac(Volume AG)(Volume AP)=\frac(m)(n)$

Tādējādi aptuvenās attiecības, kas aprēķinātas ar patvaļīgu, bet vienādu precizitāti, ir vienādas. Un tā ir nesamērojamu attiecību vienlīdzība.

Lemma 2. Taisnstūra paralēlskaldņu ar vienādu augstumu tilpumi ir saistīti ar to pamatu laukumiem.

Lai (att.) P un P 1 ir divi taisnstūra paralēlskaldņi. Apzīmēsim viena no tām nevienādas bāzes ar a un b, bet otras ar a 1 un b 1.

Ņemsim palīgtaisnstūrveida paralēlskaldni Q, kura augstums ir tāds pats kā šiem ķermeņiem, un pamats ir taisnstūris ar malām a un b 1.

Paralēlcaurulēm P un Q ir vienādas priekšējās virsmas. Ja mēs šīs sejas ņemam par pamatu, tad augstumi būs b un b 1, un tāpēc:

Tilpums P/Skaļums Q = b/b1

Paralēlcaurulēm Q un P 1 ir vienādas sānu virsmas. Ja ņemam šīs sejas par pamatiem, tad augstumi būs a un 1, un tāpēc:

Sējums Q/Sējums P 1 = a/a1

Reizinot vienādības un , mēs atrodam:

Tilpums P/Apjoms P 1 = ab/a 1 b 1

Tā kā ab izsaka par-da P pamatnes laukumu, bet a 1 b 1 - par-da P 1 pamatnes laukumu, tad lemma ir pierādīta.

Teorēma. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Lai (att.) P ir taisnstūra paralēlskaldnis, un P 1 ir kāda kubiskā vienība.

Pirmās pamatnes laukumu un augstumu apzīmēsim ar B un H, bet otrā – ar B 1 un H 1.

Ņemsim papildu taisnstūrveida paralēlskaldni Q, kura pamatnes laukums ir B 1 un augstums H.

Salīdzinot P ar Q un pēc tam Q ar P 1, mēs atrodam:

Par. P/Vol. Q = B/B1 un tilp. Q/apg. P1 = H/H1

Reizinot šīs vienādības, mēs iegūstam:

Par. P/Vol. P1 = B/B1 * H/H1

Šajā vienādībā iekļautās attiecības ir skaitļi, kas izsaka noteiktā paralēlskaldņa tilpumu, pamatnes laukumu un augstumu attiecīgajās kubiskajās, kvadrātveida un lineārajās vienībās. Tāpēc pēdējo vienādību var izteikt šādi:

Skaitlis, kas izsaka taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu, ir vienāds ar skaitļu reizinājumu, kas izsaka pamatnes laukumu un augstumu attiecīgajās vienībās.

To īsi izsaka šādi: taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu, t.i.

kur V, B un H ir skaitļi, kas atbilstošās vienībās izsaka taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu, pamatnes laukumu un augstumu.

Apzīmējot ar burtiem a, b un c taisnstūra par-da trīs dimensijas (izteiktas skaitļos), mēs varam rakstīt:

jo pamatnes laukums tiek izteikts ar divu šo izmēru reizinājumu, un augstums ir vienāds ar trešo dimensiju.

Sekas:

Kuba tilpums ir vienāds ar tā malas trešo pakāpi.
Divu kubikvienību attiecība ir vienāda ar atbilstošo lineāro vienību attiecības trešo pakāpi. Tātad m3 attiecība pret dm3 ir 10 3, t.i. 1000.

Jebkura paralēlskaldņa tilpums

Lemma. Slīpa prizma pēc izmēra ir vienāda ar taisnu prizmu, kuras pamatne ir vienāda ar slīpās prizmas perpendikulāro griezumu, un augstums ir vienāds ar tās sānu malu.

Caur kādu punktu a (att.) vienai no slīpās prizmas A 1 d sānu malām novelkam perpendikulāru griezumu abcde. Tad turpināsim visas malas ar seju uz leju, noliekam malā aa 1 =AA 1 un caur punktu a 1 novelkam perpendikulāru griezumu a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 .

Tā kā abu sekciju plaknes ir paralēlas, starp tām esošās sānu ribu daļas ir vienādas, t.i.
bb 1 = ss 1 = dd 1 = ee 1 = aa 1 = AA 1 .

Rezultātā daudzskaldnis a 1 d ir taisna prizma, kuras pamatne ir perpendikulārs griezums, un augstums (vai, kas ir tas pats, sānu mala) ir vienāds ar slīpās prizmas sānu malu.

Pierādīsim, ka slīpa prizma pēc izmēra ir vienāda ar taisnu prizmu.

Lai to izdarītu, vispirms pārliecināsimies, ka daudzskaldnis aD un a 1 D 1 ir vienādi.

To bāzes abcde un a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 ir vienādas, tāpat kā prizmas a 1 d pamatnes.

Savukārt, no abām pusēm atņemot vienādības A 1 A = a 1 a pa to pašu taisni A 1 a , iegūstam aA = a 1 A 1 .

Līdzīgi šim: bB = b 1 B 1, cC = c 1 C 1 utt.

Tagad iedomāsimies, ka daudzskaldnis aD ir iegults 1 D 1 tā, ka to bāzes sakrīt. Tad arī sānu ribas, kas ir perpendikulāras pamatnēm un attiecīgi vienādas, sakritīs.

Tāpēc daudzskaldnis aD ir savietojams ar 1 D 1. Tas nozīmē, ka šie ķermeņi ir vienādi.

Tagad ņemiet vērā, ka, ja mēs atņemam daļu aD no visa daudzskaldņa a 1 D , mēs iegūstam tiešo prizmu. Un, ja no tā paša daudzskaldņa atņemam daļu a 1 D 1, mēs iegūstam slīpu prizmu.

No tā izriet, ka šīs divas prizmas ir vienāda izmēra, jo to tilpumi ir vienādu ķermeņu tilpumu atšķirības.

Teorēma. Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Iepriekš mēs pierādījām šo teorēmu taisnstūrveida paralēlskaldnim, tagad mēs to pierādīsim taisnam paralēlskaldnim un pēc tam slīpam.

1. Pieņemsim (att.) AC 1 taisni par-d, t.i. tāds, kura pamats ABCD ir sava veida paralelograms, un visas sānu malas ir taisnstūri.

Par pamatu ņemsim seju AA 1 B 1 B. Tad paralēlskaldnis būs slīps.

Uzskatot to par īpašu slīpas prizmas gadījumu, mēs, pamatojoties uz iepriekšējās rindkopas lemmu, varam apgalvot, ka šī par-d ir ekvivalenta taisnei, kuras pamatne ir perpendikulārs griezums MNPQ un augstums BC.

Četrstūris MNPQ ir taisnstūris, jo tā leņķi kalpo kā taisnleņķa divskaldņu lineārie leņķi. Tāpēc taisnstūrveida paralēlskaldnis ar šo pamatni ir taisnstūrveida, un tāpēc tā tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma MNPQ un augstuma BC reizinājumu.

Bet MNPQ laukums ir vienāds ar MN * MQ. Līdzekļi:

Tilpums AC1 = MN * MQ * BC

Produkts MQ * BC izsaka paralelogrammas ABCD laukumu. Tāpēc:

Tilpums AC 1 = (apgabals ABCD) * MN

2. Ļaujiet (Zīm.) AC 1 ir slīpi. Pēc izmēra tā ir vienāda ar taisni, kuras pamatne ir perpendikulārais griezums MNPQ un augstums ir mala BC.

Bet, saskaņā ar pierādīto, labā paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu. Līdzekļi:

Tilpums AC 1 = (apgabals MNPQ) * BC

Ja RS ir sekcijas MNPQ augstums, tad laukums MNPQ = MQ * RS. Tāpēc:

Tilpums AC1 = MQ * RS * BC

Produkts BC * MQ izsaka paralelogrammas ABCD laukumu. Tātad:

Tilpums AC 1 = (apgabals ABCD) * RS

Tie. Jebkura paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu .

Sekas. Ja V, B un H ir skaitļi, kas attiecīgajās vienībās izsaka kāda paralēlskaldņa tilpumu, pamatnes laukumu un augstumu, tad varam rakstīt:

Uzdevums. Labā paralēlskaldņa pamatne ir rombs, kura laukums ir vienāds ar S. Diagonālo sekciju laukumi ir vienādi ar S 1 un S 2. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu.

Lai atrastu paralēlskaldņa tilpumu, jāatrod tā augstums H (242. att.).

Pamatnes diagonāļu garumus apzīmēsim ar d 1 un d 2. Tad

d 1 H = S 1, d 2 H = S 2, d 1 d 2 = 2S.

No šiem vienādojumiem mēs atrodam

$$ \frac(S_1)(H)\cdot \frac(S_2)(H) = 2S, \;\; H=\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S)) $$

Tāpēc

$$ V=S\cdot H = S\sqrt(\frac(S_1 S_2)(2S))=\sqrt(\frac(S\cdot S_1\cdot S_2)(2)) $$

Prizmu sauc paralēlskaldnis, ja tā pamati ir paralelogrami. Cm. 1. att.

Paralēlskaldņa īpašības:

Paralēlstūra pretējās virsmas ir paralēlas (tas ir, tās atrodas paralēlās plaknēs) un vienādas.

Paralēlskaldņa diagonāles krustojas vienā punktā un ar šo punktu tās sadala uz pusēm.

Blakus esošās paralēlskaldņa sejas– divas sejas, kurām ir kopīga mala.

Paralēlskaldņa pretējās sejas– sejas, kurām nav kopīgu malu.

Paralēlskaldņa pretējās virsotnes– divas virsotnes, kas nepieder vienai sejai.

Paralēles diagonāle– segments, kas savieno pretējās virsotnes.

Ja sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm, tad tiek saukts paralēlskaldnis tiešā veidā.

Tiek saukts taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura pamati ir taisnstūri taisnstūrveida. Tiek saukta prizma, kuras visas sejas ir kvadrāti kubs.

Paralēles- prizma, kuras pamati ir paralelogrami.

Labais paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknei.

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisnstūra paralēlskaldnis, kura pamatnes ir taisnstūri.

Kubs– taisnstūrveida paralēlskaldnis ar vienādām malām.

paralēlskaldnis sauc par prizmu, kuras pamats ir paralelograms; Tādējādi paralēlskaldnim ir sešas skaldnes, un tās visas ir paralelogrami.

Pretējās sejas ir pa pāriem vienādas un paralēlas. Paralēlskaldnis ir četras diagonāles; tie visi krustojas vienā punktā un tajā ir sadalīti uz pusēm. Par pamatu var ņemt jebkuru seju; tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu: V = Sh.

Paralēlspīni, kura četras sānu skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldnis, kura sešas skaldnes ir taisnstūri, sauc par taisnstūri. Cm. 2. att.

Taisnā paralēlskaldņa tilpums (V) ir vienāds ar pamatlaukuma (S) un augstuma (h) reizinājumu: V = Sh .

Taisnstūra paralēlskaldnim turklāt formula ir spēkā V=abc, kur a,b,c ir malas.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle (d) ir saistīta ar tā malām ar attiecību d 2 = a 2 + b 2 + c 2 .

Taisnstūra paralēlskaldnis- paralēlskaldnis, kura sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, bet pamatnes ir taisnstūri.

Taisnstūra paralēlskaldņa īpašības:

Taisnstūrveida paralēlskaldī visas sešas skaldnes ir taisnstūri.

Visi taisnstūra paralēlskaldņu divstūrveida leņķi ir taisni.

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles kvadrāts ir vienāds ar tā trīs dimensiju kvadrātu summu (trīs malu garumi ar kopīgu virsotni).

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas.

Taisnstūrveida paralēlskaldni, kura visas skaldnes ir kvadrāti, sauc par kubu. Visas kuba malas ir vienādas; kuba tilpumu (V) izsaka ar formulu V = a 3, kur a ir kuba mala.

showPlots(;0 noAxes0 );

Rīsi. 2.1: divi paralēlskaldņi

2.0.6. Tilpuma mērvienība.

Mērot tilpumus, par tilpuma vienību tiek ņemts kuba tilpums, kurā katra mala ir vienāda ar lineāru vienību. Tādējādi tiek izmantoti kubikmetri (m3), kubikcentimetri (cm3) utt.

2.1 Paralēlskaldņa tilpums.

2.1.1 Teorēma par regulāra kubīda tilpumu

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu.

Šādā īsā izteiksmē šī teorēma jāsaprot šādi: skaitlis, kas izsaka taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu kubiskā vienībā, ir vienāds ar skaitļu reizinājumu, kas izsaka tā trīs dimensijas attiecīgajā lineārajā vienībā, t.i. mērvienībā, kas ir kuba mala, kura tilpums tiek ņemts par kubikvienību. Tādējādi, ja x ir skaitlis, kas izsaka kubikveida kubikcentimetros, un a; b un c

skaitļi, kas izsaka tās trīs dimensijas lineāros centimetros, tad teorēma nosaka, ka x = abc Pierādījumā īpaši aplūkosim šādus trīs gadījumus: 1) Izmēri ir izteikti veselos skaitļos. Pieņemsim, piemēram, mērījumus (2.2) AB = a; BC = b un BD = c, kur a; b un c ir daži veseli skaitļi (piemēram, kā parādīts mūsu attēlā: a = 4; b = 2 un c = 5). Tad paralēlskaldņa pamatnē ir ab tādi kvadrāti, no kuriem katrs apzīmē atbilstošu kvadrātveida vienību. Katrā no šiem laukumiem acīmredzami var ievietot vienu kubikvienību. Tad jūs iegūstat slāni (parādīts 2.2.), kas sastāv no ab kubikvienībām. Tā kā šī slāņa augstums ir vienāds ar vienu lineāru vienību un visa paralēlskaldņa augstums satur c šādas vienības, tad c šādus slāņus var novietot paralēlskaldņa iekšpusē. Tāpēc šī paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar abc kubikvienībām. 2) Mērījumus izsaka daļskaitļos. Ļaujiet paralēlskaldņa izmēriem būt:

m n ; p q ; r s

(dažas no šīm daļām var būt vienādas ar veselu skaitli). Samazinot daļskaitļus līdz vienam un tam pašam saucējam, mēs iegūstam:

mqs ngs ; pns qns; rnq snq:

Par jaunu (palīgvienību) pieņemsim nqs 1 lineārās vienības daļu

tsu garums. Tad šajā paralēlskaldņa jaunajā mērvienībā tie tiks izteikti veselos skaitļos, proti:

(mqs) (pns) (rnq);

un tāpēc saskaņā ar pierādīto (1. gadījumā) paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar reizinājumu (mqs) (pns) (rnq), ja šo tilpumu mēra ar jaunu kubikvienību, kas atbilst jaunai lineārai. vienība. Ir tādas kubikvienības

nogāzties vienā kubikvienībā, kas atbilst bijušajai lineārajai vienībai - q

tse, satur (nqs)3 ; tātad jaunā kubiskā vienība ir (nqs) 3

bijušais. Tāpēc paralēlskaldņa tilpums, kas izteikts iepriekšējās vienībās, ir vienāds ar

(mqs) (pns) (rnq) =

(nqs)3

3) Mērījumus izsaka iracionālos skaitļos. Lai šim paralēlskaldnim (2.3), kuru īsuma labad apzīmējam ar vienu burtu Q, ir šādi izmēri:

AB = ; AC = ; AD = ;

kur ir visi skaitļi; un vai tikai daži no tiem ir neracionāli. Katrs no cipariem; un to var attēlot kā bezgalīgu decimāldaļskaitli. Ņemsim šo daļu aptuvenās vērtības ar n zīmēm aiz komata, vispirms ar deficītu un pēc tam ar pārpalikumu. Vērtības ar trūkumiem tiks apzīmētas ar n; n; n vērtības ar pārsniegumu n 0 ; n 0; n 0 . Uzzīmēsim uz malas AB, sākot no punkta A, divus segmentus AB1 = n un AB2 = n 0 . Uz malas AC no tā paša punkta A uzzīmējam nogriežņus AC1 = n un AC2 = n 0 un uz malas AD no tā paša punkta nogriežņus AD1 = n un n 0. Šajā gadījumā mums būs

AB1< AB < AB2 ; AC1 < AC < AC2 ; AD1 < AD < AD2 :

Tagad izveidosim divus papildu paralēlskaldņus: vienu (sauksim to par Q1) ar izmēriem AB1; AC1 un AD1 un vēl viens (sauksim to par Q2) ar mērījumiem AB2; AC2 un AD2. Paralēlskaldnis Q1 pilnībā ietilps paralēlskaldņa Q iekšpusē, un paralēlskaldnis Q2 tajā atradīsies paralēlskaldnis Q. Saskaņā ar pierādīto (2. gadījumā) mums būs:

Q1 = n n n; (1)

Q2 = n 0 n 0 n 0; (2)

un apjoms Q1< объема Q2 .

Tagad sāksim palielināt skaitli n. Tas nozīmē, ka mēs ņemam aptuvenās skaitļu vērtības; ; gamma ar arvien lielāku precizitāti. Apskatīsim, kā šajā gadījumā mainās paralēlskaldņu Q1 tilpumi

un Q 2 Ar neierobežotu n pieaugumu, apjoms Q1 acīmredzami palielinās

Un pēc vienādības (1) ar bezgalīgu n pieaugumu ir dominējošais

Faktiski produkta robeža (n ; n ; n ). Apjoms Q2 acīmredzami samazinās un

pēc vienādības (2) ir reizinājuma robeža n 0 ; n 0; n 0 . Bet no algebras ir zināms, ka abi produkti ir n; n ; n un n0; n 0; n 0 ar neierobežotu n pieaugumu ir kopīga robeža, kas ir iracionālu skaitļu reizinājums.Šo robežu ņemam par paralēlskaldņa Q tilpuma mēru: tilpums Q = . Var pierādīt, ka šādi noteiktais tilpums atbilst tilpumam noteiktajiem nosacījumiem. Faktiski ar šo tilpuma definīciju vienādiem paralēlskaldņiem acīmredzami ir vienādi tilpumi. Tātad pirmais nosacījums ir izpildīts. Tagad sadalīsim šo paralēlskaldni Q divās daļās ar plakni, kas ir paralēla tā pamatnei: Q1 un Q2 (2.4). Tad mums būs:

Q1 = AB AC AD;

Q2 = AB AA1 AD;

Q3 = A1 B1 A1 C A1 D1 :

Saskaitot pēdējos divus vienādības termiņus un atzīmējot, ka A1 B1 = AB un A1 D1 = AD, iegūstam tilpumu Q1 + tilpumu Q2 = AB AA1 AD + AB A1 C AD = AB AD(AA1 + A1 C) = AB AD AC , no šejienes mēs iegūstam:

Q1 + Q2 = Q:

Līdz ar to arī otrais nosacījums ir izpildīts, ja paralēlskaldnis ir salocīts no divām daļām, kas iegūtas, to nogriežot ar plakni, kas ir paralēla vienai no virsmām.

set2D(0; 20; 4; 20);

;0 domuzīme0 );

dash0);

p8 = punktiPlot(4

[ 0A 0; 0 B 0; 0 C 0; 0 un 0; 0 b 0; 0 c 0; 0 D 0];

showPlots(;0 noAxes0 );

set2D(3; 12; 2; 13);

				;0 domuzīme0 );

			;0 domuzīme0 );

Rīsi. 2.2: Paralēlstūris

;0 domuzīme0 );

dash0);

;0 domuzīme0 );

Vienkārši sakot, tie ir dārzeņi, kas vārīti ūdenī pēc īpašas receptes. Izskatīšu divus sākotnējos komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni) un gatavo rezultātu - boršču. Ģeometriski to var uzskatīt par taisnstūri, kura viena puse attēlo salātus, bet otra - ūdeni. Šo divu pušu summa norādīs boršču. Šāda “borša” taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni un nekad netiek izmantoti boršča receptēs.

Kā salāti un ūdens no matemātiskā viedokļa pārvēršas borščā? Kā divu līniju posmu summa var kļūt par trigonometriju? Lai to saprastu, mums ir vajadzīgas lineāras leņķiskās funkcijas.

Matemātikas mācību grāmatās neko neatradīsit par lineārām leņķiskām funkcijām. Bet bez tiem nevar būt matemātikas. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām par to esamību vai nē.

Lineāras leņķiskās funkcijas ir saskaitīšanas likumi. Skatiet, kā algebra pārvēršas ģeometrijā un ģeometrija pārvēršas trigonometrijā.

Vai var iztikt bez lineārām leņķiskām funkcijām? Tas ir iespējams, jo matemātiķi joprojām iztiek bez tiem. Matemātiķu viltība ir tāda, ka viņi mums vienmēr stāsta tikai par tām problēmām, kuras paši zina, kā atrisināt, un nekad nerunā par tām problēmām, kuras nevar atrisināt. Skaties. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, mēs izmantojam atņemšanu, lai atrastu otru terminu. Visi. Mēs nezinām citas problēmas un nezinām, kā tās atrisināt. Kā rīkoties, ja zinām tikai pievienošanas rezultātu un nezinām abus terminus? Šajā gadījumā pievienošanas rezultāts ir jāsadala divos terminos, izmantojot lineārās leņķiskās funkcijas. Tālāk mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķiskās funkcijas parāda, kādam jābūt otrajam terminam, lai saskaitīšanas rezultāts būtu tieši tas, kas mums nepieciešams. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgi daudz. IN Ikdiena Mēs varam iztikt lieliski, nesadalot summu; mums pietiek ar atņemšanu. Bet, kad zinātniskie pētījumi Dabas likumi, summas sadalīšana komponentos var būt ļoti noderīga.

Vēl viens saskaitīšanas likums, par kuru matemātiķiem nepatīk runāt (vēl viens viņu triks), nosaka, ka terminiem jābūt vienādām mērvienībām. Salātiem, ūdenim un borščam tās var būt svara, tilpuma, vērtības vai mērvienības.

Attēlā parādīti divi matemātiskās atšķirības līmeņi. Pirmais līmenis ir atšķirības skaitļu laukā, kas ir norādītas a, b, c. To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir atšķirības mērvienību laukā, kas parādītas kvadrātiekavās un norādītas ar burtu U. To dara fiziķi. Mēs varam saprast trešo līmeni - atšķirības aprakstāmo objektu zonā. Dažādiem objektiem var būt vienāds identisku mērvienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemērā. Ja pievienojam apakšindeksus vienam un tam pašam vienības apzīmējumam dažādiem objektiem, mēs varam precīzi pateikt, kāds matemātiskais lielums apraksta konkrēto objektu un kā tas mainās laika gaitā vai mūsu darbību dēļ. Vēstule W Es apzīmēšu ūdeni ar burtu S Es apzīmēšu salātus ar burtu B- borščs. Šādi izskatīsies boršča lineārās leņķiskās funkcijas.

Ja paņemsim kādu daļu ūdens un kādu daļu no salātiem, tie kopā pārvērtīsies par vienu boršča porciju. Šeit es iesaku jums nedaudz atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt zaķus un pīles? Vajadzēja noskaidrot, cik dzīvnieku būs. Ko tad mums mācīja darīt? Mums mācīja atdalīt mērvienības no skaitļiem un saskaitīt skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot jebkuram citam numuram. Tas ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs to darām nesaprotami, ko, nesaprotami kāpēc, un ļoti slikti saprotam, kā tas ir saistīts ar realitāti, jo trīs atšķirības līmeņu dēļ matemātiķi darbojas tikai ar vienu. Pareizāk būtu iemācīties pāriet no vienas mērvienības uz citu.

Zaķus, pīles un mazus dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj tos saskaitīt kopā. Šī ir problēmas bērnu versija. Apskatīsim līdzīgu uzdevumu pieaugušajiem. Ko jūs saņemat, pievienojot zaķus un naudu? Šeit ir divi iespējamie risinājumi.

Pirmais variants. Nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam pieejamajai naudas summai. Mēs saņēmām mūsu bagātības kopējo vērtību naudas izteiksmē.

Otrais variants. Jūs varat pievienot zaķu skaitu mūsu banknošu skaitam. Kustamās mantas summu saņemsim gabalos.

Kā redzat, viens un tas pats pievienošanas likums ļauj iegūt dažādus rezultātus. Tas viss ir atkarīgs no tā, ko tieši mēs vēlamies uzzināt.

Bet atgriezīsimies pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks, kad dažādas nozīmes lineāro leņķisko funkciju leņķis.

Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram pagatavot boršču. Arī boršča daudzums ir nulle. Tas nebūt nenozīmē, ka nulle boršča ir vienāda ar nulli ūdens. Var būt nulles borščs ar nulles salātiem (taisnā leņķī).

Man personīgi šis ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka . Nulle nemaina numuru, kad to pievieno. Tas notiek tāpēc, ka pati pievienošana nav iespējama, ja ir tikai viens termins un trūkst otrā termina. Jūs varat justies par to, kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātiskās darbības ar nulli ir izdomājuši paši matemātiķi, tāpēc izmetiet savu loģiku un stulbi piebāzt matemātiķu izdomātās definīcijas: "dalīšana ar nulli nav iespējama", "jebkurš skaitlis reizināts ar nulle ir vienāda ar nulli”, “aiz pārduršanas punkta nulles” un citas muļķības. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad vairs nebūs jautājumu, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šāds jautājums zaudē visu nozīmi: kā to, kas nav skaitlis, var uzskatīt par skaitli ? Tas ir tāpat kā jautāt, kādā krāsā ir klasificējama neredzamā krāsa. Nulles pievienošana skaitlim ir tas pats, kas krāsot ar krāsu, kuras tur nav. Mēs pamājām ar sausu otu un visiem teicām, ka "mēs krāsojām". Bet es nedaudz novirzos.

Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet nepietiek ūdens. Rezultātā iegūsim biezu boršču.

Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds daudzums ūdens un salātu. Šis ir ideāls borščs (piedodiet, šefpavāri, tā ir tikai matemātika).

Leņķis ir lielāks par četrdesmit pieciem grādiem, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un maz salātu. Jūs saņemsiet šķidru boršču.

Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. No salātiem paliek tikai atmiņas, jo turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas kādreiz iezīmēja salātus. Mēs nevaram pagatavot boršču. Boršča daudzums ir nulle. Šajā gadījumā turiet un dzeriet ūdeni, kamēr jums tas ir)))

Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Es varu šeit pastāstīt citus stāstus, kas šeit būtu vairāk nekā piemēroti.

Diviem draugiem bija savas daļas kopīgā biznesā. Pēc viena nogalināšanas viss pārgāja uz otru.

Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.

Visi šie stāsti tiek stāstīti matemātikas valodā, izmantojot lineāras leņķiskās funkcijas. Citreiz es jums parādīšu šo funkciju īsto vietu matemātikas struktūrā. Tikmēr atgriezīsimies pie boršča trigonometrijas un apsvērsim projekcijas.

Sestdien, 26.10.2019

Noskatījos interesantu video par Grundy sērija Viens mīnus viens plus viens mīnus viens - Numberphile. Matemātiķi melo. Sprieduma laikā viņi neveica vienlīdzības pārbaudi.

Tas sasaucas ar manām domām par.

Apskatīsim tuvāk zīmes, kas liecina, ka matemātiķi mūs maldina. Pašā argumenta sākumā matemātiķi saka, ka secības summa IR ATKARĪGA no tā, vai tai ir pāra elementu skaits vai nav. Tas ir OBJEKTĪVI KONSTATĒTS FAKTS. Kas notiek tālāk?

Tālāk matemātiķi atņem secību no vienotības. Pie kā tas noved? Tas noved pie secības elementu skaita izmaiņām - pāra skaitlis mainās uz nepāra skaitli, nepāra skaitlis mainās par pāra skaitli. Galu galā mēs secībai pievienojām vienu elementu, kas vienāds ar vienu. Neskatoties uz visu ārējo līdzību, secība pirms transformācijas nav vienāda ar secību pēc transformācijas. Pat ja mēs runājam par bezgalīgu secību, mums jāatceras, ka bezgalīga secība ar nepāra elementu skaitu nav vienāda ar bezgalīgu secību ar pāra elementu skaitu.

Liekot vienādības zīmi starp divām sekvencēm ar atšķirīgu elementu skaitu, matemātiķi apgalvo, ka secības summa NAV ATKARĪGA no elementu skaita secībā, kas ir pretrunā ar OBJEKTĪVI NOTEIKTU FAKTU. Papildu argumentācija par bezgalīgas secības summu ir nepatiesa, jo tā ir balstīta uz nepatiesu vienādību.

Ja redzat, ka matemātiķi pierādīšanas gaitā liek iekavas, pārkārto matemātiskās izteiksmes elementus, kaut ko pievieno vai noņem, esiet ļoti uzmanīgi, visticamāk, viņi mēģina jūs maldināt. Tāpat kā kāršu burvji, matemātiķi izmanto dažādas izteiksmes manipulācijas, lai novērstu jūsu uzmanību, lai galu galā sniegtu nepatiesu rezultātu. Ja jūs nevarat atkārtot kāršu triku, nezinot maldināšanas noslēpumu, tad matemātikā viss ir daudz vienkāršāk: jūs pat neko nenojaušat par maldināšanu, bet atkārtojot visas manipulācijas ar matemātisku izteiksmi, jūs varat pārliecināt citus par maldināšanas pareizību. iegūtais rezultāts, tāpat kā tad, kad -viņi jūs pārliecināja.

Klausītāju jautājums: vai bezgalība (kā elementu skaits secībā S) ir pāra vai nepāra? Kā jūs varat mainīt paritāti kaut kam, kam nav paritātes?

Bezgalība ir matemātiķiem, tāpat kā Debesu valstība ir priesteriem - neviens tur nav bijis, bet visi precīzi zina, kā tur viss darbojas))) Piekrītu, pēc nāves jums būs absolūti vienaldzīgs, vai dzīvojāt pāra vai nepāra skaitļa. dienu, bet... Pievienojot jūsu dzīves sākumam tikai vienu dienu, mēs iegūsim pavisam citu cilvēku: viņa uzvārds, vārds un uzvārds ir pilnīgi vienādi, tikai dzimšanas datums ir pilnīgi atšķirīgs - viņš bija dzimis vienu dienu pirms tevis.

Tagad ķersimies pie lietas))) Pieņemsim, ka ierobežota secība, kurai ir paritāte, zaudē šo paritāti, dodoties uz bezgalību. Tad jebkuram bezgalīgas secības ierobežotam segmentam ir jāzaudē paritāte. Mēs to neredzam. Tas, ka mēs nevaram droši pateikt, vai bezgalīgā secībā ir pāra vai nepāra elementu skaits, nenozīmē, ka paritāte ir pazudusi. Paritāte, ja tāda pastāv, nevar bez pēdām pazust bezgalībā, kā spica piedurknē. Šim gadījumam ir ļoti laba līdzība.

Vai esat kādreiz jautājuši pulkstenī sēdošajai dzeguzei, kurā virzienā griežas pulksteņa rādītājs? Viņai bultiņa griežas pretējā virzienā tam, ko mēs saucam par “pulksteņrādītāja virzienu”. Lai cik paradoksāli tas neizklausītos, griešanās virziens ir atkarīgs tikai no tā, no kuras puses mēs novērojam rotāciju. Un tā, mums ir viens ritenis, kas griežas. Mēs nevaram pateikt, kurā virzienā notiek rotācija, jo mēs to varam novērot gan no vienas rotācijas plaknes puses, gan no otras. Mēs varam liecināt tikai par to, ka ir rotācija. Pilnīga analoģija ar bezgalīgas secības paritāti S.

Tagad pievienosim otru rotējošu riteni, kura griešanās plakne ir paralēla pirmā rotējošā riteņa griešanās plaknei. Mēs joprojām nevaram precīzi pateikt, kādā virzienā šie riteņi griežas, taču mēs varam pilnībā pateikt, vai abi riteņi griežas vienā virzienā vai pretējā virzienā. Divu bezgalīgu secību salīdzināšana S Un 1-S, ar matemātikas palīdzību parādīju, ka šīm sekvencēm ir dažādas paritātes un vienādības zīmes likšana starp tām ir kļūda. Personīgi es uzticos matemātikai, es neuzticos matemātiķiem))) Starp citu, lai pilnībā izprastu bezgalīgu secību transformāciju ģeometriju, ir jāievieš jēdziens "vienlaicība". Tas būs jāuzzīmē.

Trešdien, 2019. gada 7. augustā

Noslēdzot sarunu par to, mums jāapsver bezgalīgs kopums. Lieta tāda, ka jēdziens “bezgalība” ietekmē matemātiķus tāpat kā boa konstriktors uz trusi. Bezgalības drebošās šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:

Sākotnējais avots atrodas. Alfa apzīmē reālo skaitli. Vienādības zīme iepriekš minētajās izteiksmēs norāda, ka, ja bezgalībai pievienosi skaitli vai bezgalību, nekas nemainīsies, rezultāts būs tā pati bezgalība. Ja par piemēru ņemam bezgalīgo naturālo skaitļu kopu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai skaidri pierādītu, ka viņiem ir taisnība, matemātiķi nāca klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es uz visām šīm metodēm skatos kā uz šamaņiem, kas dejo ar tamburīnām. Būtībā tie visi ir saistīti ar faktu, ka vai nu dažas telpas ir neapdzīvotas un ievācas jauni viesi, vai arī daži apmeklētāji tiek izmesti gaitenī, lai atbrīvotu vietu viesiem (ļoti cilvēciski). Es izklāstīju savu skatījumu uz šādiem lēmumiem kā fantāzijas stāstu par Blondīni. Uz ko balstās mans arguments? Bezgalīgi liela apmeklētāju skaita pārvietošana prasa bezgalīgi daudz laika. Pēc tam, kad esam atbrīvojuši pirmo istabu viesim, kāds no apmeklētājiem vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo līdz pat laika beigām. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, bet tas būs kategorijā "neviens likums nav rakstīts muļķiem". Tas viss ir atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātiskām teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits tukšu gultu neatkarīgi no aizņemto numuru skaita. Ja visas telpas bezgalīgajā "apmeklētāju" koridorā ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar "viesu" istabām. Tādu koridoru būs bezgalīgi daudz. Turklāt “bezgalīgajai viesnīcai” ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā daudzumā ēku uz bezgalīgi daudzām planētām bezgalīgā skaitā visumu, ko radījis bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj distancēties no banālām ikdienas problēmām: vienmēr ir tikai viens Dievs-Allāhs-Buda, ir tikai viena viesnīca, ir tikai viens koridors. Tāpēc matemātiķi mēģina žonglēt ar viesnīcu numuru sērijas numuriem, pārliecinot mūs, ka ir iespējams "iegrūst neiespējamo".

Es jums parādīšu sava argumentācijas loģiku, izmantojot bezgalīgas naturālu skaitļu kopas piemēru. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik naturālo skaitļu kopu ir - viens vai vairāki? Uz šo jautājumu nav pareizas atbildes, jo mēs paši izgudrojām skaitļus; skaitļi dabā neeksistē. Jā, Daba lieliski prot skaitīt, taču šim nolūkam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Es jums pastāstīšu, ko Daba domā citreiz. Tā kā mēs izdomājām skaitļus, mēs paši izlemsim, cik naturālo skaitļu kopu ir. Apsvērsim abus variantus, kā jau īstiem zinātniekiem pienākas.

Pirmais variants. “Lai mums tiek dota” viena naturālo skaitļu kopa, kas mierīgi atrodas plauktā. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Tas tā, citu naturālu skaitļu plauktā nav palicis un nav kur ņemt. Mēs nevaram to pievienot šim komplektam, jo mums tas jau ir. Ko darīt, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Varam paņemt vienu no jau paņemtā komplekta un atdot plauktā. Pēc tam varam paņemt vienu no plaukta un pievienot tam, kas mums ir palicis. Rezultātā mēs atkal iegūsim bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Visas mūsu veiktās manipulācijas varat pierakstīt šādi:

Darbības pierakstīju algebriskajā un kopu teorijas pierakstā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšraksts norāda, ka mums ir viena un vienīgā naturālo skaitļu kopa. Izrādās, ka naturālo skaitļu kopa paliks nemainīga tikai tad, ja no tās atņem vienu un saskaita to pašu vienību.

Otrais variants. Mūsu plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu naturālu skaitļu kopu. Uzsveru - ATŠĶIRĪGI, neskatoties uz to, ka praktiski nav atšķirami. Ņemsim vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no citas naturālo skaitļu kopas un pievienojam jau ņemtajai kopai. Mēs pat varam pievienot divas naturālo skaitļu kopas. Tas ir tas, ko mēs iegūstam:

Apakšraksti "viens" un "divi" norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja bezgalīgai kopai pievienosit vienu, rezultāts būs arī bezgalīga kopa, taču tā nebūs tāda pati kā sākotnējā kopa. Ja vienai bezgalīgai kopai pievienojat vēl vienu bezgalīgu kopu, rezultāts ir jauna bezgalīga kopa, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Naturālo skaitļu kopa tiek izmantota skaitīšanai tāpat kā lineāls mērīšanai. Tagad iedomājieties, ka lineālam pievienojāt vienu centimetru. Šī būs cita līnija, kas nav vienāda ar sākotnējo.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu argumentāciju - tā ir jūsu pašu darīšana. Bet, ja jūs kādreiz saskaraties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai ejat nepareizas spriešanas takas, ko staigājušas matemātiķu paaudzes. Galu galā matemātikas studijas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu un tikai pēc tam papildina mūsu garīgās spējas (vai, gluži pretēji, atņem mums brīvdomību).

pozg.ru

Svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pabeidzu pēcskriptu rakstam par un ieraudzīju šo brīnišķīgo tekstu Vikipēdijā:

Mēs lasām: "... Bagātīgajai Babilonas matemātikas teorētiskajai bāzei nebija holistiska rakstura, un tā tika samazināta līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija nekādu kopējā sistēma un pierādījumu bāze."

Oho! Cik mēs esam gudri un cik labi spējam saskatīt citu trūkumus. Vai mums ir grūti aplūkot mūsdienu matemātiku tādā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, es personīgi saņēmu sekojošo:

Mūsdienu matemātikas bagātīgā teorētiskā bāze pēc būtības nav holistiska, un tā ir reducēta uz atšķirīgu sadaļu kopumu, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es nekur neiešu, lai apstiprinātu savus vārdus — tai ir valoda un noteikumi, kas atšķiras no valodas un simboliem daudzas citas matemātikas nozares. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas nozarēs var būt dažādas nozīmes. Es vēlos veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

Sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā kopu sadalīt apakškopās? Lai to izdarītu, jums jāievada jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apskatīsim piemēru.

Lai mums ir daudz A kas sastāv no četriem cilvēkiem. Šī kopa veidota uz “cilvēku” bāzes. Apzīmēsim šīs kopas elementus ar burtu A, apakšindekss ar numuru norādīs katras personas sērijas numuru šajā komplektā. Ieviesīsim jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmēsim to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu A pamatojoties uz dzimumu b. Ievērojiet, ka mūsu “cilvēku” kopums tagad ir kļuvis par “cilvēku ar dzimuma īpašībām” kopu. Pēc tam mēs varam sadalīt seksuālās īpašības vīriešiem bm un sieviešu bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam izmantot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām pazīmēm neatkarīgi no tā, kura - vīrietis vai sieviete. Ja cilvēkam ir, tad reizinām ar vienu, ja tādas zīmes nav, tad ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Paskaties, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtošanas mēs nonācām pie divām apakškopām: vīriešu apakškopas Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež aptuveni tādā pašā veidā, kad viņi praksē pielieto kopu teoriju. Bet viņi mums nestāsta detaļas, bet sniedz mums gatavo rezultātu - "daudzi cilvēki sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas." Protams, jums var rasties jautājums: cik pareizi matemātika ir izmantota iepriekš aprakstītajās transformācijās? Es uzdrošinos apliecināt, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek zināt aritmētikas matemātisko bāzi, Būla algebru un citas matemātikas nozares. Kas tas ir? Citreiz par to pastāstīšu.

Kas attiecas uz superkopām, varat apvienot divas kopas vienā superkopā, atlasot šo divu kopu elementos esošo mērvienību.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika padara kopu teoriju par pagātnes reliktu. Pazīme, ka ar kopu teoriju viss nav kārtībā, ir tas, ka matemātiķi ir nākuši klajā ar savu valodu un apzīmējumu kopu teorijai. Matemātiķi rīkojās kā kādreiz šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā “pareizi” pielietot savas “zināšanas”. Viņi mums māca šīs "zināšanas".

Nobeigumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē
Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.

Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Viņi visi tā vai citādi uzskatīja Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz šai dienai, zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.

Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien nemainīgā ātrumā. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.

Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nepārslēdzieties uz abpusējām vienībām. Zenona valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika brīdī dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas vienā brīdī uzņemtas no dažādiem telpas punktiem, bet no tām nevar noteikt kustības faktu (protams, joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija jums palīdzēs ). Īpaši gribu pievērst uzmanību tam, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajag jaukt, jo tās sniedz dažādas izpētes iespējas.
Es jums parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies “sarkano cietvielu pūtītē” - tas ir mūsu “viss”. Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku, un ir bez loka. Pēc tam mēs atlasām daļu no “veseluma” un veidojam komplektu “ar loku”. Šādi šamaņi iegūst ēdienu, saistot savu kopu teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu triku. Ņemsim “cieto ar pūtīti ar banti” un apvienosim šos “veselumus” pēc krāsas, izvēloties sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz "sarkano". Tagad pēdējais jautājums: vai iegūtie komplekti “ar loku” un “sarkanais” ir viens un tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Atbildi zina tikai šamaņi. Precīzāk, paši neko nezina, bet kā saka, tā būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopu teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām komplektu "sarkans ciets ar pūtīti un loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (ciets), raupjums (pūtīte), dekorēšana (ar banti). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālus objektus matemātikas valodā. Tas izskatās šādi.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem apzīmē dažādas mērvienības. Mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek atšķirts “veselais”, ir izceltas iekavās. Mērvienība, pēc kuras tiek veidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā redzams gala rezultāts – komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejas ar tamburīnām. Šamaņi var “intuitīvi” nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot, ka tas ir “acīmredzams”, jo mērvienības neietilpst viņu “zinātniskajā” arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu komplektu vai apvienot vairākas kopas vienā supersetā. Apskatīsim tuvāk šī procesa algebru.

NODARBĪBAS TEKSTA stenogramma:

Kopš piektās klases mums ir zināma formula taisnstūra paralēlskaldņa tilpuma noteikšanai. Šodien atcerēsimies šo formulu un pierādīsim teorēmu “Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums”

Pierādīsim teorēmu: Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu.

Dots: paralēlskaldnis

a, b, c ir tā mērījumi.

V ir paralēlskaldņa tilpums.

Pierādīt: V = abc.

Pierādījums:

1. Pieņemsim, ka a, b, c ir galīgas decimāldaļas, kur decimāldaļu skaits nav lielāks par n (n > 1).

Tad skaitļi a. 10n, dz. 10n, c. 10n - veseli skaitļi.

Sadalīsim katru paralēlskaldņa malu vienādos garuma segmentos un caur dalīšanas punktiem novelkam plaknes, kas ir perpendikulāras malām.

Paralēlskaldnis tiks sadalīts abc.103n vienādos kubos ar malu. Noskaidrosim, ka katra mazā kuba tilpums būs vienāds ar vienu, kas dalīts ar desmit, līdz n-tajai pakāpei, kas pacelta līdz kubam. Paceļot skaitītāju un saucēju uz kubu, mēs iegūstam (viens kubs ir vienāds ar vienu, un 10 līdz n-tajam kuba posmam ir vienāds ar 10 ar jaudu 3n) koeficientu viens un 10 ar jaudu 3n.

Jo katra šāda kuba tilpums ir vienāds, un šo kubu skaitu reizina ar abc, tad taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu nosaka, reizinot kubu skaitu ar maza kuba tilpumu. Tad iegūstam izteiksmi: Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar reizinājumu abc, kas reizināts ar 10 ar 3n vienību koeficientu un 10 ar 3n pakāpi.

Samazinot par 10 līdz pakāpei 3n, mēs atklājam, ka taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar abc vai tā trīs dimensiju reizinājumu.

Tātad V = abc.

2. Pierādīsim, ja vismaz viens no izmēriem a, b, c ir bezgalīga decimāldaļdaļa, tad arī paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs dimensiju reizinājumu.

Lai аn, bn, cn ir galīgas decimāldaļdaļas, kas iegūtas no skaitļiem a, b, katrā no tiem atmetot visus ciparus aiz komata, sākot ar (n + 1). Tad a ir lielāks vai vienāds ar a ar indeksu un mazāks vai vienāds ar a ar indeksu n

an< a < an",

kur a ir n-tais pirmskaitlis, kas vienāds ar a summu, ir n-tais un viens dalīts ar desmit līdz n-tajai pakāpei =

attiecībā uz b un c mēs pierakstām līdzīgas nevienādības un rakstām tās vienu zem otras

an< a < an"

miljardus< b < bn"

cn< c < cn",

Reizinot šīs trīs nevienādības, mēs iegūstam: reizinājums abc ir lielāks vai vienāds ar a nth ar b nth un c nth reizinājumu un mazāks par vai vienāds ar a n-to pirmskaitli ar b n-to pirmskaitli un ar c n-to pirmskaitli:

anbncn abc< an"bn"cn". (1)

Saskaņā ar 1. punktā pierādīto, kreisā puse ir paralēlskaldņa tilpums ar malām anbncn, tas ir, Vn, un labā puse ir paralēlskaldņa tilpums ar malām "bn" cn, tas ir, Vn ".

Jo paralēlskaldnis P, tas ir, paralēlskaldnis ar izmēriem a, b, c satur paralēlskaldni Pn, tas ir, paralēlskaldni ar malām an, bn, cn, un pats ir ietverts paralēlskaldņā Pn", tas ir, paralēlskaldnis ar malām an", bn", cn" tad paralēlskaldņa P tilpums V ir ietverts starp Vn = anbncn un Vn "= an"bn"cn",

tie. anbncn< V < an"bn"cn". (2)

Neierobežoti palielinot n, viena un 10 attiecība pret 3n pakāpi kļūs patvaļīgi maza, un tāpēc skaitļi anbncn un an"bn"cn pēc iespējas mazāk atšķirsies viens no otra. Līdz ar to skaitlis V atšķiras no skaitļa abc tik maz, cik vēlas. Tātad tie ir vienādi:

V = abc. Teorēma ir pierādīta.

Secinājums 1. Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Kuboīda pamatne ir taisnstūris. Lai taisnstūra garums ir a un platums b, augstumu apzīmē ar h=c. Pēc tam mēs atrodam taisnstūra laukumu, izmantojot formulu. Aizvietosim formulu, lai atrastu tilpumu V = abc, nevis reizinājumu, ko mēs rakstām. Mēs iegūstam formulu

Secinājums 2. Taisnas prizmas tilpums, kuras pamatne ir taisnleņķa trīsstūris, ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu.

Ņemot vērā taisnstūra prizmu, leņķis A pie pamatnes ir pareizs. Veidosim taisnstūra prizmu taisnstūra paralēlskaldnim (skat. zīmējumu). Taisnstūra paralēlskaldnis sastāv no divām taisnstūrveida prizmām, kuras ir vienādas, jo tām ir vienādas pamatnes un augstumi. Attiecīgi taisnstūra laukums ir vienāds ar diviem taisnstūra trijstūra ABC laukumiem. Tāpēc taisnstūra prizmas tilpums ir vienāds ar pusi no kubīda tilpuma (reizinot) vai taisnleņķa trijstūra pamatnes reizinājumu. un augstums.

Uzdevums 1. Atrodiet attēlā redzamā daudzskaldņa tilpumu (visi divskaldņu leņķi ir taisnleņķi).

Mēs atrodam taisnstūra paralēlskaldņa tilpumu, izmantojot formulu: